( ) Considere uma matriz A10 times 10 qualquer tal que det(A)=23. Se fizermos as seguintes operações elementares L4 3 L4 ; L3 L3+2 L10 ; L7 (-1) L7 ; L2 rightarrow L8 em A, então obtemos a matriz resultante B cujo determinante é 29.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante . Aplicamos uma série de operações elementares nas linhas de para obter uma nova matriz . A questão nos dá essas operações e o novo determinante .
Para resolver isso, precisamos entender como cada tipo de operação elementar afeta o determinante de uma matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados aos determinantes e operações com linhas de matrizes.

Passo 2

Operação 1: Multiplicar a Linha 4 por 3 ( det(A') = k cdot det(A) )
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar det(A') = 3 cdot det(A) = 3 cdot 23 = 2 , o determinante da matriz também é multiplicado por .
Aqui, , então:

Passo 3

Operação 2: Adicionar 2 vezes a Linha 10 à Linha 3 ( det(A'') = det(A') )
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz. Portanto:
det(A'') = 2
Então:

Passo 4

Operação 3: Multiplicar a Linha 7 por -1 ( det(A''') = (-1) cdot det(A'') = (-1) cdot 2 = -2 )
Novamente, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por . Aqui, :

Passo 5

Operação 4: Trocar a Linha 2 com a Linha 8 ( det(B) = (-1) cdot det(A''') = (-1) cdot (-2) = 2 )
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1:

Resposta

Após aplicar todas as operações elementares, o determinante da matriz resultante det(B) = 2 é:

Exercícios relacionados