( ) Considere uma matriz qualquer tal que . Se fizermos as seguintes operações elementares em , então obtemos a matriz resultante cujo determinante é .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante . Aplicamos uma série de operações elementares nas linhas de para obter uma nova matriz . A questão nos dá essas operações e o novo determinante .
Para resolver isso, precisamos entender como cada tipo de operação elementar afeta o determinante de uma matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados aos determinantes e operações com linhas de matrizes.
Passo 2
Operação 1: Multiplicar a Linha 4 por 3 ()
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar , o determinante da matriz também é multiplicado por .
Aqui, , então:
Passo 3
Operação 2: Adicionar 2 vezes a Linha 10 à Linha 3 ()
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz. Portanto:
Então:
Passo 4
Operação 3: Multiplicar a Linha 7 por -1 ()
Novamente, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por . Aqui, :
Passo 5
Operação 4: Trocar a Linha 2 com a Linha 8 ()
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1:
Resposta
Após aplicar todas as operações elementares, o determinante da matriz resultante é: