( ) Considere uma matriz qualquer tal que . Se fizermos as seguintes operações elementares em , então obtemos a matriz resultante cujo determinante é .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante . Aplicamos uma série de operações elementares nas linhas de para obter uma nova matriz . A questão nos dá essas operações e o novo determinante .
Para resolver isso, precisamos entender como cada tipo de operação elementar afeta o determinante de uma matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados aos determinantes e operações com linhas de matrizes.

Passo 2

Operação 1: Multiplicar a Linha 4 por 3 ( )
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar , o determinante da matriz também é multiplicado por .
Aqui, , então:

Passo 3

Operação 2: Adicionar 2 vezes a Linha 10 à Linha 3 ( )
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz. Portanto:
Então:

Passo 4

Operação 3: Multiplicar a Linha 7 por -1 ( )
Novamente, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por . Aqui, :

Passo 5

Operação 4: Trocar a Linha 2 com a Linha 8 ( )
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1:

Resposta

Após aplicar todas as operações elementares, o determinante da matriz resultante é:

Exercícios relacionados

Considerando o sistema em
tenha
Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz do ítem anterior.
Dê exemplo de um sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações. Qual é a matriz ampliada desse sistema?
Considerando o sistema em
tenha
Para quais valores de , esse sistema tem
infinitas soluções?
Cuidado para não dividir por zero.
Esboce os pontos em um mesmo sistema de coordenadas.