( ) Considere uma matriz
qualquer tal que
. Se fizermos as seguintes operações elementares
em
, então obtemos a matriz resultante
cujo determinante é
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com determinante
. Aplicamos uma série de operações elementares nas linhas de
para obter uma nova matriz
. A questão nos dá essas operações e o novo determinante
.
Para resolver isso, precisamos entender como cada tipo de operação elementar afeta o determinante de uma matriz. Vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados aos determinantes e operações com linhas de matrizes.
Passo 2
Operação 1: Multiplicar a Linha 4 por 3 (
)
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar
, o determinante da matriz também é multiplicado por
.
Aqui,
, então:
Passo 3
Operação 2: Adicionar 2 vezes a Linha 10 à Linha 3 (
)
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz. Portanto:
Então:
Passo 4
Operação 3: Multiplicar a Linha 7 por -1 (
)
Novamente, multiplicar uma linha por um escalar
multiplica o determinante por
. Aqui,
:
Passo 5
Operação 4: Trocar a Linha 2 com a Linha 8 (
)
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1:
Resposta
Após aplicar todas as operações elementares, o determinante da matriz resultante
é: