Verifique se o vetor é uma combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: será que o vetor pode ser formado combinando os vetores e ? Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear, que basicamente significa multiplicar cada vetor por um número (chamamos esses números de coeficientes) e somar os resultados para ver se conseguimos chegar no vetor que queremos, que aqui é .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever essa combinação linear de forma matemática. Queremos encontrar números e tais que:
Substituindo os vetores pelos seus valores:
Passo 3
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual. Então, vamos montar um sistema de equações:
Simplificando, temos:
a = 2 2a + 4b = 0 a + 3b = 5
Passo 4
Já sabemos que 2(2) + 4b = 0 implies 4 + 4b = 0 implies 4b = -4 implies b = -1 . Vamos usar esse valor na segunda equação:
2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1 neq 5
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Aqui vemos que a equação não se fecha, ou seja, não há como e fazerem ser uma combinação linear de e .
Resposta
Não, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .