Verifique se o vetor w=(2,0,5) é uma combinação linear dos vetores u=(1,2,1) e v=(0,4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: será que o vetor pode ser formado combinando os vetores e ? Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear, que basicamente significa multiplicar cada vetor por um número (chamamos esses números de coeficientes) e somar os resultados para ver se conseguimos chegar no vetor que queremos, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever essa combinação linear de forma matemática. Queremos encontrar números a cdot u + b cdot v = w e a cdot (1, 2, 1) + b cdot (0, 4, 3) = (2, 0, 5) tais que:
Substituindo os vetores pelos seus valores:

Passo 3

Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual. Então, vamos montar um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 0 = 2 a cdot 2 + b cdot 4 = 0 a cdot 1 + b cdot 3 = 5
Simplificando, temos:
a = 2 2a + 4b = 0 a + 3b = 5

Passo 4

Já sabemos que 2(2) + 4b = 0 implies 4 + 4b = 0 implies 4b = -4 implies b = -1 . Vamos usar esse valor na segunda equação:
2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1 neq 5
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Aqui vemos que a equação não se fecha, ou seja, não há como e fazerem ser uma combinação linear de e .

Resposta

Não, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados