Dê exemplo de um sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações. Qual é a matriz ampliada desse sistema?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente criar um sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações. Além disso, precisamos identificar qual seria a matriz ampliada desse sistema. Para isso, vamos precisar entender o que é um sistema homogêneo e como construímos a matriz ampliada a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema homogêneo. Um sistema de equações é chamado de homogêneo quando todas as equações têm o termo constante igual a zero. Ou seja, tem a forma geral:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = 0
Aqui, são as variáveis, e os são os coeficientes das variáveis nas equações.

Passo 3

Vamos criar um exemplo específico seguindo essas características. Vamos escolher coeficientes simples para facilitar a compreensão:
x + 2y - z + 3w = 0 2x - y + 0z + w = 0 -3x + y + 2z + w = 0
Aqui, temos 4 variáveis ( ) e 3 equações, todas igualadas a zero, confirmando que é um sistema homogêneo.

Passo 4

Agora, vamos construir a matriz ampliada desse sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Como nosso sistema é homogêneo, os termos constantes são todos zero. A matriz ampliada fica assim:
1 & 2 & -1 & 3 & | & 0 2 & -1 & 0 & 1 & | & 0 -3 & 1 & 2 & 1 & | & 0
Cada linha representa uma equação, e cada coluna representa uma variável, sendo a última coluna os termos constantes (zero, no caso).

Resposta

O sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações é:
x + 2y - z + 3w = 0 2x - y + w = 0 -3x + y + 2z + w = 0
A matriz ampliada desse sistema é:
1 & 2 & -1 & 3 & | & 0 2 & -1 & 0 & 1 & | & 0 -3 & 1 & 2 & 1 & | & 0

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