Considerando o sistema em x, y, z
ccc 3 x+9 y+(k^2-1) z & = & k+1 x+3 y+(1-k^2) z & = & -k-1 3 x+11 y+(1-k^2) z & = & -k-1
tenha
Para quais valores de k, esse sistema tem
infinitas soluções?
Cuidado para não dividir por zero.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício apresenta um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. A gente precisa descobrir para quais valores de k esse sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar a análise:
3x + 9y + (k^2 - 1)z = k + 1 x + 3y + (1 - k^2)z = -k - 1 3x + 11y + (1 - k^2)z = -k - 1
A matriz dos coeficientes é:
A = 3 & 9 & k^2 - 1 1 & 3 & 1 - k^2 3 & 11 & 1 - k^2

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes ( det(A)) deve ser zero, e o sistema deve ser compatível. Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 3 cdot 3 & 1 - k^2 11 & 1 - k^2 - 9 cdot 1 & 1 - k^2 3 & 1 - k^2 + (k^2 - 1) cdot 1 & 3 3 & 11

Passo 4

Vamos calcular cada determinante menor:
  1. 3 & 1 - k^2 11 & 1 - k^2 = 3(1 - k^2) - 11(1 - k^2) = (3 - 11)(1 - k^2) = -8(1 - k^2)
  2. 1 & 1 - k^2 3 & 1 - k^2 = 1(1 - k^2) - 3(1 - k^2) = (1 - 3)(1 - k^2) = -2(1 - k^2)
  3. 1 & 3 3 & 11 = 1 cdot 11 - 3 cdot 3 = 11 - 9 = 2

Passo 5

Substituindo na expressão do determinante:
det(A) = 3(-8)(1 - k^2) - 9(-2)(1 - k^2) + (k^2 - 1)(2)
Simplificando:
det(A) = -24(1 - k^2) + 18(1 - k^2) + 2(k^2 - 1)
det(A) = (-24 + 18)(1 - k^2) + 2(k^2 - 1)
det(A) = -6(1 - k^2) + 2(k^2 - 1)
det(A) = -6 + 6k^2 + 2k^2 - 2
det(A) = 8k^2 - 8
det(A) = 8(k^2 - 1)

Passo 6

Para que o determinante seja zero:
8(k^2 - 1) = 0
Dividindo ambos os lados por 8:
k^2 - 1 = 0
Resolvendo:
k^2 = 1 Rightarrow k = pm 1

Passo 7

Agora, precisamos verificar se o sistema é compatível para k = 1 e k = -1. Vamos substituir k nesses valores e verificar se as equações são consistentes.
Para k = 1:
Substituindo k = 1 no sistema:
3x + 9y + (1 - 1)z = 2 x + 3y + (1 - 1)z = -2 3x + 11y + (1 - 1)z = -2
Simplificando:
3x + 9y = 2 x + 3y = -2 3x + 11y = -2
Observamos que a terceira equação não é combinação das duas primeiras, o que indica que não há solução para k = 1.
Para k = -1:
Substituindo k = -1 no sistema:
3x + 9y + ((-1)^2 - 1)z = 0 x + 3y + (1 - (-1)^2)z = 0 3x + 11y + (1 - (-1)^2)z = 0
Simplificando:
3x + 9y = 0 x + 3y = 0 3x + 11y = 0
Aqui, a terceira equação pode ser uma combinação das duas primeiras. De fato, multiplicando a segunda equação por 3:
3x + 9y = 0
Comparando com a terceira equação:
3x + 11y = 0
Isso só é possível se y = 0, e consequentemente x = 0. O sistema tem uma solução única (0,0, z) com z livre, ou seja, infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para k = -1.

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