tenha
Para quais valores de , esse sistema tem
infinitas soluções?
Cuidado para não dividir por zero.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício apresenta um sistema de três equações com três incógnitas () e um parâmetro . A gente precisa descobrir para quais valores de esse sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar a análise:
A matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes () deve ser zero, e o sistema deve ser compatível. Vamos calcular o determinante de :
Passo 4
Vamos calcular cada determinante menor:
Passo 5
Substituindo na expressão do determinante:
Simplificando:
Passo 6
Para que o determinante seja zero:
Dividindo ambos os lados por 8:
Resolvendo:
Passo 7
Agora, precisamos verificar se o sistema é compatível para e . Vamos substituir nesses valores e verificar se as equações são consistentes.
Para :
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Observamos que a terceira equação não é combinação das duas primeiras, o que indica que não há solução para .
Para :
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Aqui, a terceira equação pode ser uma combinação das duas primeiras. De fato, multiplicando a segunda equação por 3:
Comparando com a terceira equação:
Isso só é possível se , e consequentemente . O sistema tem uma solução única com livre, ou seja, infinitas soluções.