Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método de Redução de Ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
e uma solução conhecida dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução para essa EDO usando o Método de Redução de Ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e como o Método de Redução de Ordem funciona.
Passo 2
Primeiro, lembrando que para uma EDO linear de segunda ordem da forma
, se já conhecemos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
usando a fórmula:
No nosso caso, a equação é
, então
e
. Isso simplifica nossa fórmula para:
Passo 3
Sabemos que
, então vamos substituir isso na fórmula:
Agora, precisamos resolver a integral
. Sabemos que
é igual a
, e a integral de
em relação a
é
. Lembrando que aqui
, então:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para encontrar uma solução particular.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando, sabemos que
, então:
Resposta
A segunda solução da EDO
pelo Método de Redução de Ordem é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
, para alguma constante
qualquer, defina
implicitamente como uma função de
e
. Mostre que se
, então