Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método de Redução de Ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo e uma solução conhecida dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução para essa EDO usando o Método de Redução de Ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e como o Método de Redução de Ordem funciona.

Passo 2

Primeiro, lembrando que para uma EDO linear de segunda ordem da forma , se já conhecemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução usando a fórmula:
No nosso caso, a equação é , então e . Isso simplifica nossa fórmula para:

Passo 3

Sabemos que , então vamos substituir isso na fórmula:
Agora, precisamos resolver a integral . Sabemos que é igual a , e a integral de em relação a é . Lembrando que aqui , então:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para encontrar uma solução particular.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando, sabemos que , então:

Resposta

A segunda solução da EDO pelo Método de Redução de Ordem é .

Exercícios relacionados

Suponha que , para alguma constante qualquer, defina implicitamente como uma função de e . Mostre que se , então
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