Suponha que
, para alguma constante
qualquer, defina
implicitamente como uma função de
e
. Mostre que se
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é definir
de forma que ela dependa de
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e diferenciação implícita. Basicamente, vamos descobrir como pequenas mudanças em
e
afetam
mantendo a equação
verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
é uma função de
e
, então podemos escrever
. Isso significa que quando
e
mudam,
também muda para manter a igualdade
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que
é uma constante, então sua derivada será zero. Ao diferenciar, aplicamos a regra da cadeia para a parte que envolve
:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
. O termo
representa como
muda com
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação que obtivemos:
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela
:
Passo 5
De maneira semelhante, vamos diferenciar a equação
em relação a
:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Então, mostramos que as derivadas parciais de
em relação a
e
são:
Exercícios relacionados
Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado.
Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método de Redução de Ordem.