Suponha que , para alguma constante qualquer, defina implicitamente como uma função de e . Mostre que se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é definir de forma que ela dependa de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e diferenciação implícita. Basicamente, vamos descobrir como pequenas mudanças em e afetam mantendo a equação verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que é uma função de e , então podemos escrever . Isso significa que quando e mudam, também muda para manter a igualdade .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma constante, então sua derivada será zero. Ao diferenciar, aplicamos a regra da cadeia para a parte que envolve :
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a . O termo representa como muda com .

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação que obtivemos:
Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela :

Passo 5

De maneira semelhante, vamos diferenciar a equação em relação a :
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Então, mostramos que as derivadas parciais de em relação a e são:

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Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine a solução do problema de valor inicial associado.
Considerando a solução dada em cada item, encontre uma segunda solução da EDO dada pelo Método de Redução de Ordem.
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