suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original (a) Encontre a série de Fourier da função estendida (b) Esboce o gráfico da função para a qual a série conver>= por três períodos: f(x)=lr0, & -1 <= x<0, x^2, & 0 <= x<1çãééçãáçãéêí

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Fourier de uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos e depois extendida periodicamente. A matéria que vamos usar aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos precisar calcular os coeficientes da série (a₀, aₙ e bₙ) usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função está definida de -1 a 1, então o período T é 2. O comprimento semi-periodo, que chamamos de L, é 1 (T = 2L).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente a₀, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para a₀ é:
a0 = 12L integral-L^L f(x) , dx
Substituindo L = 1:
a0 = 12 ( integral-1^0 0 , dx + integral0^1 x^2 , dx )
Calculando as integrais:
a0 = 12 ( 0 + [ x^33 ]0^1 ) = 12 ( 13 - 0 ) = 16

Passo 4

Vamos agora calcular os coeficientes aₙ, que são os coeficientes das funções cosseno na série de Fourier. A fórmula é:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi x / L) , dx
Com L = 1:
an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx = integral-1^0 0 cdot cos(npi x) , dx + integral0^1 x^2 cos(npi x) , dx
Simplificando:
an = integral0^1 x^2 cos(npi x) , dx
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integrais padrão. O resultado é:
an = 4(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bₙ, que são os coeficientes das funções seno na série de Fourier. A fórmula é:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi x / L) , dx
Com L = 1:
bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx = integral-1^0 0 cdot sin(npi x) , dx + integral0^1 x^2 sin(npi x) , dx
Simplificando:
bn = integral0^1 x^2 sin(npi x) , dx
Essa integral também pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integrais padrão. O resultado é:
bn = 2(-1)^n+1npi

Passo 6

Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função estendida periodicamente:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(npi x) + bn sin(npi x) )
Substituindo os valores que encontramos:
f(x) = 112 + sumn=1^infty ( 4(-1)^nn^2pi^2 cos(npi x) + 2(-1)^n+1npi sin(npi x) )

Passo 7

Para a parte (b), precisamos esboçar o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos. A função original é:
f(x) = 0, & -1 <= x < 0, x^2, & 0 <= x < 1
Estendendo periodicamente, o gráfico repetirá essa forma a cada intervalo de comprimento 2. Então, ao esboçar três períodos, teremos a função igual a zero de -1 a 0, x² de 0 a 1, e assim por diante, repetindo esse padrão.

Resposta

A série de Fourier da função estendida periodicamente é:
f(x) = 112 + sumn=1^infty ( 4(-1)^nn^2pi^2 cos(npi x) + 2(-1)^n+1npi sin(npi x) )
E o gráfico da função para três períodos mostra a função igual a zero em cada intervalo de -1 a 0, x² de 0 a 1, repetindo esse padrão continuamente.

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