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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Fourier de uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos e depois extendida periodicamente. A matéria que vamos usar aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Vamos precisar calcular os coeficientes da série (a₀, aₙ e bₙ) usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função está definida de -1 a 1, então o período T é 2. O comprimento semi-periodo, que chamamos de L, é 1 (T = 2L).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente a₀, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para a₀ é:
Substituindo L = 1:
Calculando as integrais:

Passo 4

Vamos agora calcular os coeficientes aₙ, que são os coeficientes das funções cosseno na série de Fourier. A fórmula é:
Com L = 1:
Simplificando:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integrais padrão. O resultado é:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bₙ, que são os coeficientes das funções seno na série de Fourier. A fórmula é:
Com L = 1:
Simplificando:
Essa integral também pode ser resolvida por partes ou usando fórmulas de integrais padrão. O resultado é:

Passo 6

Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função estendida periodicamente:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Para a parte (b), precisamos esboçar o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos. A função original é:
Estendendo periodicamente, o gráfico repetirá essa forma a cada intervalo de comprimento 2. Então, ao esboçar três períodos, teremos a função igual a zero de -1 a 0, x² de 0 a 1, e assim por diante, repetindo esse padrão.

Resposta

A série de Fourier da função estendida periodicamente é:
E o gráfico da função para três períodos mostra a função igual a zero em cada intervalo de -1 a 0, x² de 0 a 1, repetindo esse padrão continuamente.

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