Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. © .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Queremos encontrar as soluções não-triviais dessa equação e determinar os limites de
quando
vai para
e
.
Passo 2
Para resolver a equação diferencial homogênea
, vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende a
e
.
-
Quando
: - O termo
cresce exponencialmente. - As funções
e oscilam entre -1 e 1. - Portanto,
tende a (ou dependendo dos coeficientes e ).
- O termo
-
Quando
: - O termo
tende a 0, pois uma exponencial com expoente negativo muito grande se aproxima de zero. - Mesmo com as oscilações de
e , o produto total tende a 0.
- O termo
Resposta
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Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?