Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). © .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Queremos encontrar as soluções não-triviais dessa equação e determinar os limites de quando vai para e .

Passo 2

Para resolver a equação diferencial homogênea r^2 - 2r + 5 = 0 , vamos encontrar a equação característica associada:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2i
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y(t) = e^t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )
Como as raízes são complexas , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a e .
  • Quando :
    • O termo cresce exponencialmente.
    • As funções e oscilam entre -1 e 1.
    • Portanto, tende a (ou dependendo dos coeficientes e ).
  • Quando :
    • O termo tende a 0, pois uma exponencial com expoente negativo muito grande se aproxima de zero.
    • Mesmo com as oscilações de e , o produto total tende a 0.

Resposta

limt -infty y(t) = 0 e limt infty y(t) = infty

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