Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (b) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, especificamente uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, observamos que:
Então, temos uma raiz real dupla: .

Passo 5

Como a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Agora, derivamos para usar a condição :
Aplicando :

Passo 6

Com as constantes encontradas, a solução particular fica:
Agora, vamos determinar os limites quando tende a e .
  • Para :
Isso porque decresce mais rápido que tende a .
  • Para :
Aqui, cresce exponencialmente, fazendo com que tenda ao infinito.

Resposta

A solução do problema é:
Os limites são:

Exercícios relacionados

Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (d) ,
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (f)
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . © .