Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). (b) , y^prime doub<=-6 y^prime+9 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, especificamente uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y'' - 6y' + 9y = 0
Essa é uma equação homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^2 - 6r + 9 = 0 na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática (r - 3)^2 = 0 , podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, observamos que:
Então, temos uma raiz real dupla: .

Passo 5

Como a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^3t
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes 0 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 Rightarrow C1 = 0 e y'(t) = C2 e^3t + 3C2 t e^3t .
Primeiro, usamos 2 = C2 e^0 + 0 Rightarrow C2 = 2 :
Agora, derivamos para usar a condição :
Aplicando :

Passo 6

Com as constantes encontradas, a solução particular fica:
y(t) = 2t e^3t
Agora, vamos determinar os limites quando limt to -infty y(t) = limt to -infty 2t e^3t = 0 tende a limt to infty y(t) = limt to infty 2t e^3t = infty e .
  • Para :
Isso porque decresce mais rápido que tende a .
  • Para :
Aqui, cresce exponencialmente, fazendo com que tenda ao infinito.

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 2t e^3t
Os limites são:
limt to -infty y(t) = 0 e limt to infty y(t) = infty

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