Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (b) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, especificamente uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, observamos que:
Então, temos uma raiz real dupla:
.
Passo 5
Como a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Agora, derivamos
para usar a condição
:
Aplicando
:
Passo 6
Com as constantes encontradas, a solução particular fica:
Agora, vamos determinar os limites quando
tende a
e
.
- Para
:
Isso porque
decresce mais rápido que
tende a
.
- Para
:
Aqui,
cresce exponencialmente, fazendo com que
tenda ao infinito.
Resposta
A solução do problema é:
Os limites são:
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Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (d) ,
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (f)
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. © .