Considere as EDOs abaixo: x'' + (3 - beta) x' - 2(beta - 1) x = 0 Para quais valores de beta podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando t -> infinito ?

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:

O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar os valores de beta que fazem todas as soluções dessa equação se aproximarem de zero conforme t vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. Isso ajuda a determinar o comportamento das soluções. Substituímos x por , o que nos leva a:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para r usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Vamos simplificar o discriminante ( Delta) dentro da raiz:

Como é sempre maior ou igual a zero, sabemos que as raízes são reais.

Passo 5

Para que todas as soluções se aproximem de zero quando , precisamos que ambas as raízes tenham partes reais negativas. Isso garante que os termos exponenciais decaiam.

Passo 6

Vamos analisar as condições para as raízes:
  • A soma das raízes é .
  • O produto das raízes é .
Para ambas as raízes serem negativas:
  1. A soma das raízes deve ser negativa:

2. O produto das raízes deve ser positivo:

Passo 7

As duas condições ( e ) precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. A condição mais restritiva aqui é .

Resposta

Todas as soluções da equação II se aproximam de zero quando para valores de beta menores que 1, ou seja, .

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