Considere as EDOs abaixo:
Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar os valores de
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. Isso ajuda a determinar o comportamento das soluções. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Vamos simplificar o discriminante (
) dentro da raiz:
Como
Passo 5
Para que todas as soluções se aproximem de zero quando
, precisamos que ambas as raízes tenham partes reais negativas. Isso garante que os termos exponenciais decaiam.
Passo 6
Vamos analisar as condições para as raízes:
- A soma das raízes é
. - O produto das raízes é
.
Para ambas as raízes serem negativas:
- A soma das raízes deve ser negativa:
2. O produto das raízes deve ser positivo:
Passo 7
As duas condições (
e
) precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. A condição mais restritiva aqui é
.
Resposta
Todas as soluções da equação II se aproximam de zero quando
para valores de
menores que 1, ou seja,
.
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Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. (a)
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. © .
Considere os PVIs abaixo: II)
. Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
Considere as EDOs abaixo:
Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?