Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os limites de
quando
vai para
e
, considerando as soluções não-triviais da equação diferencial
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a solução geral e, então, analisar o comportamento dessa solução nos limites pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos achar a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo
por
,
por
, e
por 1. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Onde
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais (que não foram dadas aqui).
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites de
quando
vai para
e
.
-
Para
: Ambas as exponenciaise tendem para , já que os expoentes são positivos. Portanto, se e forem diferentes de zero, também tende para . -
Para
: Aqui, as exponenciaise tendem para zero, porque os expoentes são positivos e está indo para negativo infinito. Assim, tende para zero.
Resposta
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Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. © .
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (f)
Considere as EDOs abaixo:
Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
Considere os PVIs abaixo: II)
. Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.