Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os limites de quando vai para e , considerando as soluções não-triviais da equação diferencial . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a solução geral e, então, analisar o comportamento dessa solução nos limites pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, vamos achar a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por , por , e por 1. Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( ), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais (que não foram dadas aqui).

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites de quando vai para e .
  • Para :
    Ambas as exponenciais e tendem para , já que os expoentes são positivos. Portanto, se e forem diferentes de zero, também tende para .
  • Para :
    Aqui, as exponenciais e tendem para zero, porque os expoentes são positivos e está indo para negativo infinito. Assim, tende para zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . © .
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (f)
Considere as EDOs abaixo: Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando ?
Considere os PVIs abaixo: II) . Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .