Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os limites de quando vai para e , considerando as soluções não-triviais da equação diferencial . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a solução geral e, então, analisar o comportamento dessa solução nos limites pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea 6 r^2 - 7 r + 2 = 0 . Para isso, vamos achar a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por , por , e por 1. Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 6 cdot 22 cdot 6 = 7 pm raiz49 - 4812 = 7 pm 112 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r1 = 812 = 23 e r2 = 612 = 12
Então, temos duas soluções para :

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( y(t) = C1 e^23 t + C2 e^12 t ), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais (que não foram dadas aqui).

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites de quando vai para e .
  • Para :
    Ambas as exponenciais e tendem para , já que os expoentes são positivos. Portanto, se e forem diferentes de zero, também tende para .
  • Para :
    Aqui, as exponenciais e tendem para zero, porque os expoentes são positivos e está indo para negativo infinito. Assim, tende para zero.

Resposta

limt -infty y(t) = 0 e limt infty y(t) = infty

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