Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a equação com as condições iniciais e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, a gente vai usar a equação característica. A equação característica para é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usando :
Então, .
Agora, vamos usar . Primeiro, precisamos derivar :
Aplicando a regra do produto:
Agora, substituindo :
Sabemos que , então:
Então, a solução particular da equação é:

Resposta

A solução do problema é .
Os limites são:
ã

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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites . (b) ,
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . © .
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . (a)