Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, a gente vai usar a equação característica. A equação característica para
é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usando
:
Então,
.
Agora, vamos usar
. Primeiro, precisamos derivar
:
Aplicando a regra do produto:
Agora, substituindo
:
Sabemos que
, então:
Então, a solução particular da equação é:
Resposta
A solução do problema é
.
Os limites são:
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
. (b) ,
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (a)
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. © .
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. (a)