Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). (f) y^prime doub<=+4 y^prime+5 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a equação com as condições iniciais e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, a gente vai usar a equação característica. A equação característica para r^2 + 4r + 5 = 0 é:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, r = -4 pm raiz-42 = -4 pm 2i2 = -2 pm i , y(t) = e^-2t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) = C1 = 1 e y'(t) = ddt [ e^-2t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) ] .
Primeiro, usando y'(t) = e^-2t ( -2 ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + ( -C1 sin(t) + C2 cos(t) ) ) :
y'(0) = e^0 ( -2 (C1 cdot 1 + C2 cdot 0) + (-C1 cdot 0 + C2 cdot 1) ) = -2C1 + C2 = 0
Então, -2(1) + C2 = 0 implies C2 = 2 .
Agora, vamos usar y(t) = e^-2t ( cos(t) + 2 sin(t) ) . Primeiro, precisamos derivar :
Aplicando a regra do produto:
Agora, substituindo :
Sabemos que , então:
Então, a solução particular da equação é:

Resposta

A solução do problema é limt to -infty y(t) não existe .
Os limites são:
limt to infty y(t) = 0 ã

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