Considere os PVIs abaixo: II)
. Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial do tipo
com condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que a solução dessa equação se aproxime de zero conforme
vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos que:
Então, as soluções são
e
. Assim, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos primeiro calcular a derivada de
:
Aplicando
:
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, a solução fica:
Passo 4
Queremos que
se aproxime de zero quando
. Vamos analisar os termos da solução:
-
cresce exponencialmente para infinito conforme aumenta. -
diminui para zero conforme aumenta.
Para que
, o termo que cresce (ou seja,
) deve ser eliminado. Isso só acontece se o coeficiente
for zero: