Considere os PVIs abaixo: II) 4 x'' - x = 0, x(0) = 2, x'(0) = beta. Determine o valor de beta para que a solução de II se aproxime de zero quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial do tipo com condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a solução dessa equação se aproxime de zero conforme vai para o infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos que:
Então, as soluções são e . Assim, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Segundo, . Vamos primeiro calcular a derivada de :
Aplicando :
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, a solução fica:

Passo 4

Queremos que se aproxime de zero quando . Vamos analisar os termos da solução:
  • cresce exponencialmente para infinito conforme aumenta.
  • diminui para zero conforme aumenta.
Para que , o termo que cresce (ou seja, ) deve ser eliminado. Isso só acontece se o coeficiente for zero:

Resposta

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