Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t). (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa achar as soluções não-triviais, ou seja, aquelas que não são simplesmente zero. Além disso, queremos saber quais são os limites de quando vai para menos infinito e para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
y'' - 8y' + 16y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos procurar soluções da forma , onde é um número que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Substituindo r^2 e^rt - 8r e^rt + 16 e^rt = 0 na equação, temos:
r^2 - 8r + 16 = 0
Dividindo tudo por r = 8 pm raiz64 - 642 = 82 = 4 (que nunca é zero), fica:
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
Então, temos uma raiz real dupla: .

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz dupla y(t) = (C1 + C2 t) e^4t , a solução geral da equação diferencial é:
limt to -infty y(t) = limt to -infty (C1 + C2 t) e^4t = 0
Agora, vamos analisar os limites:
  1. Quando limt to infty y(t) = limt to infty (C1 + C2 t) e^4t = infty vai para menos infinito ( ):
    Isso porque tende a zero bem rápido quando é muito negativo, independente dos valores de e .
  2. Quando vai para mais infinito ( ):
    Já nesse caso, cresce exponencialmente, fazendo com que vá para infinito, a menos que e sejam ambos zero, mas aí a solução seria trivial.

Resposta

limt to -infty y(t) = 0 e limt to infty y(t) = infty

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