Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa achar as soluções não-triviais, ou seja, aquelas que não são simplesmente zero. Além disso, queremos saber quais são os limites de
quando
vai para menos infinito e para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos procurar soluções da forma
, onde
é um número que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), fica:
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
Então, temos uma raiz real dupla:
.
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos analisar os limites:
-
Quando
vai para menos infinito ( ): Isso porquetende a zero bem rápido quando é muito negativo, independente dos valores de e . -
Quando
vai para mais infinito ( ): Já nesse caso,cresce exponencialmente, fazendo com que vá para infinito, a menos que e sejam ambos zero, mas aí a solução seria trivial.
Resposta
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;
Dados os pares de funções abaixo: (f)\left{e^{3 x}, e^{3 x-1}\right} . encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;