Dados os pares de funções abaixo: (f)\left{e^{3 x}, e^{3 x-1}\right} . encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o Wronskiano de um par de funções e descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de Wronskiano, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a verificar a independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido por:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Se for zero em todo o intervalo, elas são dependentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções dadas:
Primeira função ():
A derivada de em relação a é:
Segunda função ():
Podemos reescrever como . A derivada então é:
Passo 4
Agora, vamos montar o Wronskiano usando as funções e suas derivadas:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar:
Passo 5
O Wronskiano deu zero para todo no intervalo . Segundo o critério do Wronskiano, isso significa que as funções e são linearmente dependentes nesse intervalo. Ou seja, uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Resposta
O Wronskiano é zero para todo em , indicando que as funções e são linearmente dependentes nesse intervalo.