Resolva as seguintes equações diferenciais: (a)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação é linear e homogênea porque todos os termos envolvem a função
ou suas derivadas, e estão igualados a zero.
Passo 3
Para encontrar a solução, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 6
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Como
, temos:
Passo 7
Resolvemos a equação característica:
Portanto, as soluções são:
Passo 8
Como temos duas raízes diferentes, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: