Resolva as seguintes equações diferenciais: (a)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação é linear e homogênea porque todos os termos envolvem a função ou suas derivadas, e estão igualados a zero.

Passo 3

Para encontrar a solução, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação original:

Passo 6

Podemos fatorar (que nunca é zero):
Como , temos:

Passo 7

Resolvemos a equação característica:
Portanto, as soluções são:

Passo 8

Como temos duas raízes diferentes, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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