Resolva as seguintes equações diferenciais: (k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso aqui é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos por e por . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.

Passo 5

Calculando as raízes:
Portanto, ambas as raízes são .

Passo 6

Quando temos raízes reais e iguais , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as seguintes equações diferenciais: (a)
Dados os pares de funções abaixo: (b){\operatorname{sen} 2 \mathrm{t}, sen t \cos t} , encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites . (b)
Dados os pares de funções abaixo: (c)\left{e^{\lambda_{1} t}, e^{\lambda_{2} t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;