Resolva as seguintes equações diferenciais: (k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso aqui é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos
por
e
por
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.
Passo 5
Calculando as raízes:
Portanto, ambas as raízes são
.
Passo 6
Quando temos raízes reais e iguais
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais: (a)
Dados os pares de funções abaixo: (b){\operatorname{sen} 2 \mathrm{t}, sen t \cos t} , encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os li- mites
. (b)
Dados os pares de funções abaixo: (c)\left{e^{\lambda_{1} t}, e^{\lambda_{2} t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;