Dados os pares de funções abaixo: (c)\left{e^{\lambda_{1} t}, e^{\lambda_{2} t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de funções exponenciais, , e precisa calcular o Wronskiano delas. Depois disso, vamos descobrir se esse conjunto de funções é linearmente independente ou dependente no intervalo . Para isso, vamos precisar usar a definição de Wronskiano e entender um pouco sobre independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Isso significa que a gente coloca as funções e suas derivadas em uma matriz e calcula o determinante.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossas funções:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções:

Passo 4

Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos analisar o Wronskiano para determinar a independência linear:
  • Se para todo no intervalo, as funções são linearmente independentes.
  • Se para todo no intervalo, as funções são linearmente dependentes.
Observando a expressão do Wronskiano:
O termo exponencial nunca é zero. Portanto, a condição para que o Wronskiano seja zero depende apenas de :
  • Se , então , e as funções são linearmente independentes.
  • Se , então , e as funções são linearmente dependentes.

Resposta

O Wronskiano das funções é . Portanto:
  • Se , as funções são linearmente independentes no intervalo .
  • Se , as funções são linearmente dependentes no mesmo intervalo.

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