Dados os pares de funções abaixo: (c)\left{e^{\lambda_{1} t}, e^{\lambda_{2} t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de funções exponenciais, , e precisa calcular o Wronskiano delas. Depois disso, vamos descobrir se esse conjunto de funções é linearmente independente ou dependente no intervalo . Para isso, vamos precisar usar a definição de Wronskiano e entender um pouco sobre independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Isso significa que a gente coloca as funções e suas derivadas em uma matriz e calcula o determinante.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossas funções:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções:
Passo 4
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, vamos analisar o Wronskiano para determinar a independência linear:
Se para todo no intervalo, as funções são linearmente independentes.
Se para todo no intervalo, as funções são linearmente dependentes.
Observando a expressão do Wronskiano:
O termo exponencial nunca é zero. Portanto, a condição para que o Wronskiano seja zero depende apenas de :
Se , então , e as funções são linearmente independentes.
Se , então , e as funções são linearmente dependentes.
Resposta
O Wronskiano das funções é . Portanto:
Se , as funções são linearmente independentes no intervalo .
Se , as funções são linearmente dependentes no mesmo intervalo.