Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: [1,2 pt] d y/d x = x^9 y^3 + 2/x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais ordinárias, mais especificamente às equações do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro que ela é uma equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, para resolver essa equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão para :
Simplificando os termos:
Como , substituímos:
Agora temos uma equação linear em :

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isolando :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Invertendo ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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