Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais ordinárias, mais especificamente às equações do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro que ela é uma equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão para
:
Simplificando os termos:
Como
, substituímos:
Agora temos uma equação linear em
:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Invertendo ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.