Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t).
(a) 6 y^prime prime-7 y^prime+2 y=0
(b) y^prime prime-8 y^prime+16 y=0
© y^prime prime-2 y^prime+5 y=0.

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui são três equações diferenciais de segunda ordem, todas do tipo homogêneas com coeficientes constantes. A ideia é encontrar as soluções não-triviais dessas equações e determinar os limites de quando vai para menos infinito e para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica e analisando o comportamento das soluções com base nessas raízes.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
(a) 6 r^2 - 7 r + 2 = 0
Primeiro, escrevemos a equação característica associada:
r = 7 pm raiz49 - 4812 = 7 pm 112
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r1 = 7 + 112 = 812 = 23
Então, as raízes são:
r2 = 7 - 112 = 612 = 12
y(t) = C1 e^23 t + C2 e^12 t
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Agora, analisando os limites:
  • Quando :
    • Portanto, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • Portanto,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
(b) r^2 - 8 r + 16 = 0
A equação característica é:
r = 8 pm raiz64 - 642 = 82 = 4
Resolvendo:
y(t) = (C1 + C2 t) e^4 t
Aqui, temos uma raiz dupla real . Isso significa que a solução geral será:
Analisando os limites:
  • Quando :
    • Mesmo com o termo , a função cresce sem limite
    • Então, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • O termo também tende a zero
    • Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira equação:
© r^2 - 2 r + 5 = 0
A equação característica é:
r = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2i
Resolvendo:
y(t) = e^t ( C1 cos(2 t) + C2 sin(2 t) )
Aqui, temos raízes complexas conjugadas . A solução geral é:
Agora, analisando os limites:
  • Quando :
    • Enquanto e oscilam entre -1 e 1
    • Portanto, cresce exponencialmente sem limite
    • Assim, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • As funções oscilatórias permanecem limitadas
    • Logo,

Resposta

(a) e
(b) e
© e

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