Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)
(b)
© .

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui são três equações diferenciais de segunda ordem, todas do tipo homogêneas com coeficientes constantes. A ideia é encontrar as soluções não-triviais dessas equações e determinar os limites de quando vai para menos infinito e para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica e analisando o comportamento das soluções com base nessas raízes.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
(a)
Primeiro, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Agora, analisando os limites:
  • Quando :
    • Portanto, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • Portanto,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
(b)
A equação característica é:
Resolvendo:
Aqui, temos uma raiz dupla real . Isso significa que a solução geral será:
Analisando os limites:
  • Quando :
    • Mesmo com o termo , a função cresce sem limite
    • Então, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • O termo também tende a zero
    • Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira equação:
©
A equação característica é:
Resolvendo:
Aqui, temos raízes complexas conjugadas . A solução geral é:
Agora, analisando os limites:
  • Quando :
    • Enquanto e oscilam entre -1 e 1
    • Portanto, cresce exponencialmente sem limite
    • Assim, (se ou forem diferentes de zero)
  • Quando :
    • As funções oscilatórias permanecem limitadas
    • Logo,

Resposta

(a) e
(b) e
© e

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