Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
.
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente tem aqui são três equações diferenciais de segunda ordem, todas do tipo homogêneas com coeficientes constantes. A ideia é encontrar as soluções não-triviais
dessas equações e determinar os limites de
quando
vai para menos infinito e para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares, especificamente encontrando as raízes da equação característica e analisando o comportamento das soluções com base nessas raízes.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
(a)
Primeiro, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Agora, analisando os limites:
-
Quando
: -
-
- Portanto,
(se ou forem diferentes de zero)
-
-
Quando
: -
-
- Portanto,
-
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
(b)
A equação característica é:
Resolvendo:
Aqui, temos uma raiz dupla real
. Isso significa que a solução geral será:
Analisando os limites:
-
Quando
: -
- Mesmo com o termo
, a função cresce sem limite - Então,
(se ou forem diferentes de zero)
-
-
Quando
: -
- O termo
também tende a zero - Portanto,
-
Passo 4
Por fim, vamos para a terceira equação:
©
A equação característica é:
Resolvendo:
Aqui, temos raízes complexas conjugadas
. A solução geral é:
Agora, analisando os limites:
-
Quando
: -
- Enquanto
e oscilam entre -1 e 1 - Portanto,
cresce exponencialmente sem limite - Assim,
(se ou forem diferentes de zero)
-
-
Quando
: -
- As funções oscilatórias permanecem limitadas
- Logo,
-
Resposta
(a)
e
(b)
e
©
e
Exercícios relacionados
Uma força de F de 1200 N é aplicada como ilustrado a baixo. Determine o momento da força em relação a B.
A fim de erguer o poste de iluminação a partir da posição mostrada, a força
é aplicada ao cabo. Se
100 N , determine o momento produzido por
relação ao ponto A .
Mostre que a integral de linha
é independente do caminho.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o retângulo limitado por
e
.