Mostre que a integral de linha
é independente do caminho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de linha
é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo associado a essa integral satisfaz as condições de ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial envolvido na integral. A integral dada pode ser escrita como:
Aqui,
corresponde à componente que multiplica
e
à que multiplica
.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, precisamos ver se existe uma função potencial
tal que:
Uma condição necessária para que
seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas:
Vemos que:
Como essas derivadas são iguais, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Passo 5
Como o campo
satisfaz a condição
e estamos num domínio simples (onde o campo é contínuo e as derivadas existem e são contínuas), podemos concluir que
é um campo conservativo.
Resposta
A integral de linha
é independente do caminho.