Mostre que a integral de linha integralC y^2 d x+2 x y d y é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de linha é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo associado a essa integral satisfaz as condições de ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial envolvido na integral. A integral dada pode ser escrita como:
F(x, y) = ( M, N ) = ( y^2, 2xy )
Aqui, corresponde à componente que multiplica e à que multiplica .

Passo 3

Para verificar se o campo F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) é conservativo, precisamos ver se existe uma função potencial partial Mpartial y = partial Npartial x tal que:
Uma condição necessária para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
partial Npartial x = partialpartial x (2xy) = 2y
Vemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x = 2y
Como essas derivadas são iguais, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como o campo satisfaz a condição e estamos num domínio simples (onde o campo é contínuo e as derivadas existem e são contínuas), podemos concluir que é um campo conservativo.

Resposta

A integral de linha é independente do caminho.

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