Mostre que a integral de linha é independente do caminho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de linha é independente do caminho. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo associado a essa integral satisfaz as condições de ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial envolvido na integral. A integral dada pode ser escrita como:
Aqui, corresponde à componente que multiplica e à que multiplica .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, precisamos ver se existe uma função potencial tal que:
Uma condição necessária para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
Vemos que:
Como essas derivadas são iguais, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como o campo satisfaz a condição e estamos num domínio simples (onde o campo é contínuo e as derivadas existem e são contínuas), podemos concluir que é um campo conservativo.

Resposta

A integral de linha é independente do caminho.

Exercícios relacionados

Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)
(b)
© .
Uma força de F de 1200 N é aplicada como ilustrado a baixo. Determine o momento da força em relação a B.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o retângulo limitado por e .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o círculo .