Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o retângulo limitado por e .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é um retângulo delimitado por , , e , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Vamos lembrar o enunciado do Teorema de Green. Ele diz que:
onde é uma curva fechada positivamente orientada (anti-horário) que delimita a região , e e são funções com derivadas parciais contínuas.

Passo 3

Identificamos as funções e na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o retângulo delimitado por a e a .

Passo 6

Configurando a integral dupla:
Vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Integral em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados

Mostre que a integral de linha é independente do caminho.
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites .
(a)
(b)
© .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o círculo .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .