Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o retângulo limitado por
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A curva
é um retângulo delimitado por
,
,
e
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.
Passo 2
Vamos lembrar o enunciado do Teorema de Green. Ele diz que:
onde
é uma curva fechada positivamente orientada (anti-horário) que delimita a região
, e
e
são funções com derivadas parciais contínuas.
Passo 3
Identificamos as funções
e
na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o retângulo delimitado por
a
e
a
.
Passo 6
Configurando a integral dupla:
Vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
.
Passo 7
Integral em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral
vale 0.
Exercícios relacionados
Mostre que a integral de linha
é independente do caminho.
Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
.
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o círculo
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.