Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC 3 x y d x+2 x y d y onde C é o retângulo limitado por x=-2, x=4, y=1 e y=2.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha ointC 3xy , dx + 2xy , dy usando o Teorema de Green. A curva C é um retângulo delimitado por x = -2, x = 4, y = 1 e y = 2, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Vamos lembrar o enunciado do Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde C é uma curva fechada positivamente orientada (anti-horário) que delimita a região D, e P e Q são funções com derivadas parciais contínuas.

Passo 3

Identificamos as funções P e Q na nossa integral:
P = 3xy e Q = 2xy
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(2xy) = 2y
partial Ppartial y = partialpartial y(3xy) = 3x

Passo 5

Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
ointC 3xy , dx + 2xy , dy = integral duplaD (2y - 3x) , dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D, que é o retângulo delimitado por x = -2 a x = 4 e y = 1 a y = 2.

Passo 6

Configurando a integral dupla:
integral duplaD (2y - 3x) , dA = integralx=-2^4 integraly=1^2 (2y - 3x) , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a y e depois em relação a x.

Passo 7

Integral em relação a y:
integral1^2 (2y - 3x) , dy = [ y^2 - 3x y ]1^2 = (2^2 - 3x cdot 2) - (1^2 - 3x cdot 1) = (4 - 6x) - (1 - 3x) = 3 - 3x

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral-2^4 (3 - 3x) , dx = [ 3x - 32x^2 ]-2^4
Calculando nos limites:
Para x = 4:
3 cdot 4 - 32 cdot 4^2 = 12 - 32 cdot 16 = 12 - 24 = -12
Para x = -2:
3 cdot (-2) - 32 cdot (-2)^2 = -6 - 32 cdot 4 = -6 - 6 = -12

Passo 9

Subtraindo os valores:
-12 - (-12) = 0

Resposta

A integral ointC 3xy , dx + 2xy , dy vale 0.

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