Considerando o Subespaço . Determinar uma Base Ortonormal para (Usando o Produto Interno usual de ).

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente tem um subespaço no espaço tridimensional , definido por todos os vetores que satisfazem a equação . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para esse subespaço, ou seja, um conjunto de vetores que sejam ortogonais entre si (angulos retos) e normalizados (comprimento 1). Para isso, vamos usar o produto interno padrão do .

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma base para . A equação nos diz que . Então, podemos expressar em termos de e deixar livre, já que não há restrição para ele.
Vamos parametrizar os vetores de :
Podemos escrever qualquer vetor em como:
Então, uma base para é formada pelos vetores e .

Passo 3

Agora, precisamos transformar essa base numa base ortonormal. Para isso, usamos o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ajustar os vetores para que sejam ortogonais e depois normalizá-los.
Primeiro, vamos verificar se e já são ortogonais.
Calculando o produto interno:
Como o produto interno é zero, os vetores já são ortogonais! Agora, vamos normalizá-los.

Passo 4

Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Agora, a norma de :
Como a norma já é 1, o vetor normalizado é igual a :

Resposta

Uma base ortonormal para é:

Exercícios relacionados

Sejam e no espaço vetorial . Determinar os vetores tais que e . (Em relação ao Produto Interno usual)
Seja a matriz tal que e a matriz tal que . É correto afirmar que o elemento , da sétima linha e quinta coluna, da matriz :
(a) É 1753 .
(b) É -1753.
© É a multiplicação dos elementos e .
(d) Não é um número real.
(e) Não existe.
Justifique.
Consideremos no espaço vetorial o produto interno dado por . Verificar se e são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e .
Determinar (distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a e ortogonal a , em relação ao produto interno dado por: