Considerando o Subespaço . Determinar uma Base Ortonormal para (Usando o Produto Interno usual de ).
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A gente tem um subespaço no espaço tridimensional , definido por todos os vetores que satisfazem a equação . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para esse subespaço, ou seja, um conjunto de vetores que sejam ortogonais entre si (angulos retos) e normalizados (comprimento 1). Para isso, vamos usar o produto interno padrão do .
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma base para . A equação nos diz que . Então, podemos expressar em termos de e deixar livre, já que não há restrição para ele.
Vamos parametrizar os vetores de :
Podemos escrever qualquer vetor em como:
Então, uma base para é formada pelos vetores e .
Passo 3
Agora, precisamos transformar essa base numa base ortonormal. Para isso, usamos o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ajustar os vetores para que sejam ortogonais e depois normalizá-los.
Primeiro, vamos verificar se v1 cdot v2 = (2)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 e já são ortogonais.
Calculando o produto interno:
Como o produto interno é zero, os vetores já são ortogonais! Agora, vamos normalizá-los.
Passo 4
Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor | v | = raiza^2 + b^2 + c^2 é dada por:
| v1 | = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Calculando a norma de u1 = 1raiz5 (2, 1, 0) = ( 2raiz5, 1raiz5, 0 ) :
| v2 | = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Então, o vetor normalizado u2 = (0, 0, 1) é:
Agora, a norma de :
Como a norma já é 1, o vetor normalizado é igual a :
Resposta
Uma base ortonormal para ( dfrac2raiz5, dfrac1raiz5, 0 ), (0, 0, 1) é: