Consideremos no espaço vetorial o produto interno dado por . Verificar se e são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre produtos internos no espaço vetorial e quer saber se certos vetores são ortogonais de acordo com esse produto interno específico. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como verificar a ortogonalidade dos vetores usando a fórmula dada: .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa produto interno: é uma maneira de multiplicar dois vetores que resulta em um número escalar. Esse número pode nos dizer várias coisas sobre os vetores, como se eles são ortogonais (ou seja, “perpendiculares” um ao outro no contexto do produto interno).
Ortogonalidade em produtos internos significa que o produto interno dos dois vetores é igual a zero: . Então, nosso objetivo é calcular para cada par de vetores e ver se o resultado é zero.

Passo 3

Vamos resolver a parte a) do exercício:
a) e
Aplicando a fórmula do produto interno:
Substituindo os valores:
Como o resultado é zero, e são ortogonais nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
b) e
Usando a fórmula:
Novamente, o produto interno é zero, então e são ortogonais nesse caso também.

Passo 5

Por fim, vamos resolver a parte c):
c) e
Aplicando a fórmula do produto interno:
Desta vez, o resultado não é zero. Portanto, e não são ortogonais nesse caso.

Resposta

a) Sim, são ortogonais.
b) Sim, são ortogonais.
c) Não, não são ortogonais.

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