Sejam u=(1,1,0) e v=(0,1,2) no espaço vetorial R^3. Determinar os vetores w in R^3 tais que |w|=1 e lang<= u, wrang<==lang<= v, wrang<==0. (Em relação ao Produto Interno usual)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos os vetores u = (1,1,0) e v = (0,1,2) no espaço R^3. Precisamos encontrar todos os vetores w em R^3 que satisfazem duas condições:
  1. A norma de w é 1, ou seja, |w| = 1.
  2. O produto interno de u com w e de v com w é zero: lang<= u, w rang<= = 0 e lang<= v, w rang<= = 0.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, ortogonalidade e norma de um vetor, além de resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as condições dadas em termos de componentes dos vetores. Seja w = (w1, w2, w3), então as condições se tornam:
  1. Norma de w:
    |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 = 1
    Elevando ambos os lados ao quadrado:
    w1^2 + w2^2 + w3^2 = 1
  2. Produto interno com u:
    lang<= u, w rang<= = 1 cdot w1 + 1 cdot w2 + 0 cdot w3 = 0
    Simplificando:
    w1 + w2 = 0
  3. Produto interno com v:
    lang<= v, w rang<= = 0 cdot w1 + 1 cdot w2 + 2 cdot w3 = 0
    Simplificando:
    w2 + 2w3 = 0
Agora temos um sistema de três equações:
w1 + w2 = 0 w2 + 2w3 = 0 w1^2 + w2^2 + w3^2 = 1

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
w2 + 2w3 = 0 implies w2 = -2w3
Agora, da primeira equação:
w1 + w2 = 0 implies w1 = -w2
Substituindo w2 = -2w3 na expressão para w1:
w1 = -(-2w3) = 2w3
Agora temos:
w1 = 2w3 w2 = -2w3
Substituímos essas expressões na terceira equação:
(2w3)^2 + (-2w3)^2 + w3^2 = 1 4w3^2 + 4w3^2 + w3^2 = 1 9w3^2 = 1 w3^2 = 19 w3 = pm 13
Agora, encontramos os valores de w3, podemos encontrar w1 e w2 correspondentes:
Para w3 = 13:
w1 = 2 cdot 13 = 23 w2 = -2 cdot 13 = -23
Para w3 = -13:
w1 = 2 cdot (-13) = -23 w2 = -2 cdot (-13) = 23

Passo 4

Finalmente, temos dois vetores w que satisfazem todas as condições:
  1. Quando w3 = 13:
    w = (23, -23, 13)
  2. Quando w3 = -13:
    w = (-23, 23, -13)

Resposta

Os vetores w que satisfazem as condições são:
w = (23, -23, 13) e w = (-23, 23, -13)

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