Sejam
e
no espaço vetorial
. Determinar os vetores
tais que
e
. (Em relação ao Produto Interno usual)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos os vetores
e
no espaço
. Precisamos encontrar todos os vetores
em
que satisfazem duas condições:
- A norma de
é 1, ou seja, . - O produto interno de
com e de com é zero: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, ortogonalidade e norma de um vetor, além de resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as condições dadas em termos de componentes dos vetores. Seja
, então as condições se tornam:
-
Norma de
: Elevando ambos os lados ao quadrado: -
Produto interno com
: Simplificando: -
Produto interno com
: Simplificando:
Agora temos um sistema de três equações:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, da primeira equação:
Substituindo
na expressão para
:
Agora temos:
Substituímos essas expressões na terceira equação:
Agora, encontramos os valores de
, podemos encontrar
e
correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 4
Finalmente, temos dois vetores
que satisfazem todas as condições:
-
Quando
: -
Quando
:
Resposta
Os vetores
que satisfazem as condições são:
Exercícios relacionados
Seja a matriz
tal que
e a matriz
tal que
. É correto afirmar que o elemento
, da sétima linha e quinta coluna, da matriz
:
(a) É 1753 .
(b) É -1753.
© É a multiplicação dos elementos e
.
(d) Não é um número real.
(e) Não existe.
Justifique.
(a) É 1753 .
(b) É -1753.
© É a multiplicação dos elementos
(d) Não é um número real.
(e) Não existe.
Justifique.
No espaço vetorial
consideremos o produto interno
. Calcular
e
onde
e
.
Considerando o Subespaço
. Determinar uma Base Ortonormal para
(Usando o Produto Interno usual de
).
Consideremos no espaço vetorial
o produto interno dado por
. Verificar se
e
são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e
.
a)
b)
c)