Sejam e no espaço vetorial . Determinar os vetores tais que e . (Em relação ao Produto Interno usual)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos os vetores e no espaço . Precisamos encontrar todos os vetores em que satisfazem duas condições:
  1. A norma de é 1, ou seja, .
  2. O produto interno de com e de com é zero: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, ortogonalidade e norma de um vetor, além de resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as condições dadas em termos de componentes dos vetores. Seja , então as condições se tornam:
  1. Norma de :
    Elevando ambos os lados ao quadrado:
  2. Produto interno com :
    Simplificando:
  3. Produto interno com :
    Simplificando:
Agora temos um sistema de três equações:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, da primeira equação:
Substituindo na expressão para :
Agora temos:
Substituímos essas expressões na terceira equação:
Agora, encontramos os valores de , podemos encontrar e correspondentes:
Para :
Para :

Passo 4

Finalmente, temos dois vetores que satisfazem todas as condições:
  1. Quando :
  2. Quando :

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são:

Exercícios relacionados

Seja a matriz tal que e a matriz tal que . É correto afirmar que o elemento , da sétima linha e quinta coluna, da matriz :
(a) É 1753 .
(b) É -1753.
© É a multiplicação dos elementos e .
(d) Não é um número real.
(e) Não existe.
Justifique.
No espaço vetorial consideremos o produto interno . Calcular e onde e .
Considerando o Subespaço . Determinar uma Base Ortonormal para (Usando o Produto Interno usual de ).
Consideremos no espaço vetorial o produto interno dado por . Verificar se e são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e .