Sejam
e
no espaço vetorial
. Determinar os vetores
tais que
e
. (Em relação ao Produto Interno usual)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos os vetores
e
no espaço
. Precisamos encontrar todos os vetores
em
que satisfazem duas condições:
- A norma de
é 1, ou seja, . - O produto interno de
com e de com é zero: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, ortogonalidade e norma de um vetor, além de resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as condições dadas em termos de componentes dos vetores. Seja
, então as condições se tornam:
-
Norma de
: Elevando ambos os lados ao quadrado: -
Produto interno com
: Simplificando: -
Produto interno com
: Simplificando:
Agora temos um sistema de três equações:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, da primeira equação:
Substituindo
w2 = -2w3 na expressão para
w1 :
Agora temos:
Substituímos essas expressões na terceira equação:
Agora, encontramos os valores de
w3 , podemos encontrar
w1 e
w2 correspondentes:
Para
w3 = 13 :
Para
w3 = -13 :
Passo 4
Finalmente, temos dois vetores
w que satisfazem todas as condições:
-
Quando
:w3 = 13 w = (23, -23, 13) -
Quando
:w3 = -13 w = (-23, 23, -13)
Resposta
Os vetores
w que satisfazem as condições são: