Determinar
(distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a
e ortogonal a
, em relação ao produto interno dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um polinômio
de grau no máximo 2 (ou seja, da forma
) que não seja o polinômio nulo e que seja ortogonal a
e a
usando um produto interno específico. Isso envolve conceitos de álgebra linear e cálculo, especialmente a ideia de ortogonalidade em espaços de polinômios com um produto interno definido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal em termos de produto interno. Dois polinômios
e
são ortogonais se o produto interno
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos assumir que
. Agora, precisamos garantir que as duas integrais mencionadas acima sejam iguais a zero. Vamos calcular cada uma delas separadamente.
Primeiro, para
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
Passo 5
Substituindo esses valores na equação:
Podemos simplificar dividindo a equação inteira por 2:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Calculando cada integral:
Passo 8
Substituindo na equação:
Passo 9
Agora sabemos que
e que
. Então, nosso polinômio fica:
Como queremos um polinômio distinto do nulo, podemos escolher
para simplificar:
Resposta
O polinômio desejado é
.