Determinar p(x) in P2(R) (distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a q(x)=1 e ortogonal a h(x)=x, em relação ao produto interno dado por:
=integral-1^1 p(x) q(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um polinômio de grau no máximo 2 (ou seja, da forma ) que não seja o polinômio nulo e que seja ortogonal a e a usando um produto interno específico. Isso envolve conceitos de álgebra linear e cálculo, especialmente a ideia de ortogonalidade em espaços de polinômios com um produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal em termos de produto interno. Dois polinômios lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(x) cdot 1 , dx = 0 e lang<= p, h rang<= = integral-1^1 p(x) cdot x , dx = 0 são ortogonais se o produto interno . No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos assumir que integral-1^1 (ax^2 + bx + c) cdot 1 , dx = 0 . Agora, precisamos garantir que as duas integrais mencionadas acima sejam iguais a zero. Vamos calcular cada uma delas separadamente.
Primeiro, para a integral-1^1 x^2 , dx + b integral-1^1 x , dx + c integral-1^1 1 , dx = 0 :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
integral-1^1 1 , dx = [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Substituindo esses valores na equação:
a cdot 23 + b cdot 0 + c cdot 2 = 0 implies 23a + 2c = 0
Podemos simplificar dividindo a equação inteira por 2:
13a + c = 0 implies c = -13a

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para integral-1^1 (ax^2 + bx + c) cdot x , dx = 0 :
a integral-1^1 x^3 , dx + b integral-1^1 x^2 , dx + c integral-1^1 x , dx = 0
Isso simplifica para:

Passo 7

Calculando cada integral:
integral-1^1 x^3 , dx = [ x^44 ]-1^1 = 14 - 14 = 0
integral-1^1 x^2 , dx = 23 (já calculamos antes) á
integral-1^1 x , dx = 0 (já calculamos antes) á

Passo 8

Substituindo na equação:
a cdot 0 + b cdot 23 + c cdot 0 = 0 implies 23b = 0 implies b = 0

Passo 9

Agora sabemos que p(x) = ax^2 + 0x - 13a = a(x^2 - 13) e que p(x) = x^2 - 13 . Então, nosso polinômio fica:
Como queremos um polinômio distinto do nulo, podemos escolher para simplificar:

Resposta

O polinômio desejado é .

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