Determinar (distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a e ortogonal a , em relação ao produto interno dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um polinômio de grau no máximo 2 (ou seja, da forma ) que não seja o polinômio nulo e que seja ortogonal a e a usando um produto interno específico. Isso envolve conceitos de álgebra linear e cálculo, especialmente a ideia de ortogonalidade em espaços de polinômios com um produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal em termos de produto interno. Dois polinômios e são ortogonais se o produto interno . No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos assumir que . Agora, precisamos garantir que as duas integrais mencionadas acima sejam iguais a zero. Vamos calcular cada uma delas separadamente.
Primeiro, para :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:

Passo 5

Substituindo esses valores na equação:
Podemos simplificar dividindo a equação inteira por 2:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isso simplifica para:

Passo 7

Calculando cada integral:
á
á

Passo 8

Substituindo na equação:

Passo 9

Agora sabemos que e que . Então, nosso polinômio fica:
Como queremos um polinômio distinto do nulo, podemos escolher para simplificar:

Resposta

O polinômio desejado é .

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Consideremos no espaço vetorial o produto interno dado por . Verificar se e são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e .
Considerando o Subespaço . Determinar uma Base Ortonormal para (Usando o Produto Interno usual de ).
Considere a Transformação Linear dada por . Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço (Em relação ao Produto Interno Usual de ).

Representa uma reta que passa pela origem.