Determine o domínio das seguintes funções:
t) y = x / raiz(x - raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as regras sobre raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada no denominador: . Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz de um número negativo. Então:

Passo 3

Além disso, como a raiz quadrada está no denominador da fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então:

Passo 4

Vamos resolver a primeira condição: .
Podemos reescrever isso como:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:

Passo 5

Agora, vamos analisar as soluções dessa desigualdade. As raízes são e . Vamos testar os intervalos determinados por essas raízes:
  1. Para : Não faz sentido no contexto de raízes quadradas, então descartamos.
  2. Para : Testando :
Não satisfaz a desigualdade.
  1. Para : Testando :
Satisfaz a desigualdade.
Então, a solução para é ou .
Mas lembrando que está dentro de uma raiz quadrada, então . Portanto, combinando com a solução anterior, temos:

Passo 6

Agora, vamos garantir que o denominador não seja zero. Precisamos resolver .
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo :
Isso significa que e .

Passo 7

Combinando todas as condições:
  1. (do Passo 5)
  2. (do Passo 6)
Então, o domínio é .

Resposta

O domínio da função é .

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