Determine o domínio das seguintes funções:
t)
t)
Passo 1
Beleza, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as regras sobre raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada no denominador:
. Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz de um número negativo. Então:
Passo 3
Além disso, como a raiz quadrada está no denominador da fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida. Então:
Passo 4
Vamos resolver a primeira condição:
.
Podemos reescrever isso como:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Passo 5
Agora, vamos analisar as soluções dessa desigualdade. As raízes são
e
. Vamos testar os intervalos determinados por essas raízes:
- Para
: Não faz sentido no contexto de raízes quadradas, então descartamos. - Para
: Testando :
Não satisfaz a desigualdade.
- Para
: Testando :
Satisfaz a desigualdade.
Então, a solução para
é
ou
.
Mas lembrando que
está dentro de uma raiz quadrada, então
. Portanto, combinando com a solução anterior, temos:
Passo 6
Agora, vamos garantir que o denominador não seja zero. Precisamos resolver
.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo
:
Isso significa que
e
.
Passo 7
Combinando todas as condições:
-
(do Passo 5) -
(do Passo 6)
Então, o domínio é
.
Resposta
O domínio da função é
.
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p)
p)
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j)
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d)
d)
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é
, use a equação obtida no item (a) para mostrar que a temperatura do corpo em um instante
qualquer é dada por