Considerando todas as soluções complexas existentes, ache os valores de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores complexos de
. Para isso, vamos trabalhar com números complexos e utilizar conceitos de forma polar e a Teorema de De Moivre. Precisaremos converter o número complexo para a forma polar e aplicar as propriedades das potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculamos o módulo
:
Passo 4
Agora, encontramos o argumento
. Como o número complexo está no segundo quadrante (parte real negativa e parte imaginária positiva):
Passo 5
Então, a forma polar de
é:
Passo 6
Agora, aplicamos a potência
usando a Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui,
.
Passo 7
Calculamos
:
Passo 8
Multiplicamos o argumento por
:
Passo 9
Assim, a primeira solução é:
Passo 10
Como estamos lidando com raízes complexas, existem múltiplas soluções. Adicionamos
ao argumento, onde
é inteiro. Para obter todas as soluções, consideramos
e
dentro do intervalo
.
Passo 11
Para
:
Multiplicando por
:
E a solução correspondente é:
Resposta
Os valores complexos de
são
e
.
Exercícios relacionados
Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que
, para quaisquer
e
, mostre que
Mostre que