Considerando todas as soluções complexas existentes, ache os valores de

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores complexos de . Para isso, vamos trabalhar com números complexos e utilizar conceitos de forma polar e a Teorema de De Moivre. Precisaremos converter o número complexo para a forma polar e aplicar as propriedades das potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculamos o módulo :

Passo 4

Agora, encontramos o argumento . Como o número complexo está no segundo quadrante (parte real negativa e parte imaginária positiva):

Passo 5

Então, a forma polar de é:

Passo 6

Agora, aplicamos a potência usando a Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui, .

Passo 7

Calculamos :

Passo 8

Multiplicamos o argumento por :

Passo 9

Assim, a primeira solução é:

Passo 10

Como estamos lidando com raízes complexas, existem múltiplas soluções. Adicionamos ao argumento, onde é inteiro. Para obter todas as soluções, consideramos e dentro do intervalo .

Passo 11

Para :
Multiplicando por :
E a solução correspondente é:

Resposta

Os valores complexos de são e .

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Mostre que