Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos as raízes da equação
. Tentando valores inteiros, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é um fator do polinômio. Dividindo
por
usando divisão polinomial ou fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o quadrático
:
Portanto, o denominador completamente fatorado é:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. A forma geral para a decomposição será:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 5
Escolhemos valores estratégicos de
para facilitar a solução. Começamos com
:
Agora, escolhemos
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, escolhemos outro valor de
, por exemplo,
:
Passo 7
Com
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Juntando tudo:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considerando todas as soluções complexas existentes, ache os valores de
Mostre que