integral 2 x-5x^3-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 . Para isso, procuramos as raízes da equação x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) . Tentando valores inteiros, vemos que x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) satisfaz a equação:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)
Então, é um fator do polinômio. Dividindo por usando divisão polinomial ou fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o quadrático :
Portanto, o denominador completamente fatorado é:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração 2x - 5(x - 1)^2(x + 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 2 como uma soma de frações parciais. A forma geral para a decomposição será:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x - 5 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2 para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos de 2(1) - 5 = A(0)(3) + B(3) + C(0) 2 - 5 = 3B -3 = 3B B = -1 para facilitar a solução. Começamos com 2(-2) - 5 = A(-3)(0) + B(0) + C(-3)^2 -4 - 5 = 9C -9 = 9C C = -1 :
Agora, escolhemos :

Passo 6

Agora, para encontrar 2(0) - 5 = A(-1)(2) + B(2) + C(-1)^2 -5 = -2A + 2(-1) + C(1) -5 = -2A - 2 + (-1) -5 = -2A - 3 -2 = -2A A = 1 , escolhemos outro valor de , por exemplo, :

Passo 7

Com 2x - 5(x - 1)^2(x + 2) = 1x - 1 + -1(x - 1)^2 + -1x + 2 , 2x - 5(x - 1)^2(x + 2) = 1x - 1 - 1(x - 1)^2 - 1x + 2 e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x - 1 - 1(x - 1)^2 - 1x + 2 ) dx
Integrando termo a termo:
integral 1x - 1 dx = ln|x - 1| + C1
integral -1(x - 1)^2 dx = 1x - 1 + C2
integral -1x + 2 dx = -ln|x + 2| + C3
Juntando tudo:
ln|x - 1| + 1x - 1 - ln|x + 2| + C

Resposta

A integral ln|x - 1| + 1x - 1 - ln|x + 2| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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