Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais de funções que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos as raízes da equação . Tentando valores inteiros, vemos que satisfaz a equação:
Então, é um fator do polinômio. Dividindo por usando divisão polinomial ou fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o quadrático :
Portanto, o denominador completamente fatorado é:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações parciais. A forma geral para a decomposição será:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos de para facilitar a solução. Começamos com :
Agora, escolhemos :

Passo 6

Agora, para encontrar , escolhemos outro valor de , por exemplo, :

Passo 7

Com , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Juntando tudo:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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