Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que
, para quaisquer
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma expressão para
usando a forma polar de um número complexo e a expansão do binômio. A matéria que vamos usar aqui inclui números complexos, forma polar, e o teorema do binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões complexas e identificar as partes que correspondem ao seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o ângulo que o número faz com o eixo real. Quando elevamos esse número à potência
, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a expansão do binômio nessa expressão. O teorema do binômio nos diz que:
Aqui,
e
. Então, substituindo, temos:
Passo 4
Vamos simplificar
. Sabemos que
segue um ciclo:
,
,
,
, e assim por diante. Portanto:
Passo 5
Agora, a expressão fica:
Passo 6
Sabemos que
(Fórmula de De Moivre). Isso significa que a parte real da expansão é
e a parte imaginária é
.
Passo 7
Focando na parte imaginária, temos:
Aqui,
representa a parte imaginária de
.
Passo 8
Observando
, percebemos que ela é diferente de zero apenas quando
é ímpar. Ou seja, para
. Portanto, a soma só inclui termos com
Passo 9
Reorganizando os termos, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: