Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que , para quaisquer e , mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma expressão para usando a forma polar de um número complexo e a expansão do binômio. A matéria que vamos usar aqui inclui números complexos, forma polar, e o teorema do binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões complexas e identificar as partes que correspondem ao seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é o ângulo que o número faz com o eixo real. Quando elevamos esse número à potência , temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a expansão do binômio nessa expressão. O teorema do binômio nos diz que:
Aqui, e . Então, substituindo, temos:
Passo 4
Vamos simplificar . Sabemos que segue um ciclo: , , , , e assim por diante. Portanto:
Passo 5
Agora, a expressão fica:
Passo 6
Sabemos que (Fórmula de De Moivre). Isso significa que a parte real da expansão é e a parte imaginária é .
Passo 7
Focando na parte imaginária, temos:
Aqui, representa a parte imaginária de .
Passo 8
Observando , percebemos que ela é diferente de zero apenas quando é ímpar. Ou seja, para . Portanto, a soma só inclui termos com