Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que (a+b)^n=sumk=0^nbinomnk a^k b^n-k, para quaisquer a e b in C, mostre que
sin n theta= & binomn1 cos ^n-1 theta sin theta-binomn3 cos ^n-3 theta sin ^3 theta+ & binomn5 cos ^n-5 theta sin ^5 theta-ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma expressão para usando a forma polar de um número complexo e a expansão do binômio. A matéria que vamos usar aqui inclui números complexos, forma polar, e o teorema do binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões complexas e identificar as partes que correspondem ao seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como (costheta + isintheta)^n , onde é o ângulo que o número faz com o eixo real. Quando elevamos esse número à potência , temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a expansão do binômio nessa expressão. O teorema do binômio nos diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^k b^n-k
Aqui, (costheta + isintheta)^n = sumk=0^n binomnk (costheta)^k (isintheta)^n-k e . Então, substituindo, temos:

Passo 4

Vamos simplificar (isintheta)^n-k = i^n-k (sintheta)^n-k . Sabemos que segue um ciclo: , , , , e assim por diante. Portanto:

Passo 5

Agora, a expressão fica:
(costheta + isintheta)^n = sumk=0^n binomnk (costheta)^k i^n-k (sintheta)^n-k

Passo 6

Sabemos que (Fórmula de De Moivre). Isso significa que a parte real da expansão é e a parte imaginária é .

Passo 7

Focando na parte imaginária, temos:
sin ntheta = sumk=0^n binomnk (costheta)^k (sintheta)^n-k cdot Im(i^n-k)
Aqui, representa a parte imaginária de .

Passo 8

Observando , percebemos que ela é diferente de zero apenas quando é ímpar. Ou seja, para . Portanto, a soma só inclui termos com

Passo 9

Reorganizando os termos, temos:
sin ntheta = binomn1 cos^n-1theta sintheta - binomn3 cos^n-3theta sin^3theta + binomn5 cos^n-5theta sin^5theta - ldots

Resposta

Portanto, mostramos que:
sin ntheta = binomn1 cos^n-1theta sintheta - binomn3 cos^n-3theta sin^3theta + binomn5 cos^n-5theta sin^5theta - ldots

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