Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que , para quaisquer e , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma expressão para usando a forma polar de um número complexo e a expansão do binômio. A matéria que vamos usar aqui inclui números complexos, forma polar, e o teorema do binômio. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões complexas e identificar as partes que correspondem ao seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é o ângulo que o número faz com o eixo real. Quando elevamos esse número à potência , temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a expansão do binômio nessa expressão. O teorema do binômio nos diz que:
Aqui, e . Então, substituindo, temos:

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que segue um ciclo: , , , , e assim por diante. Portanto:

Passo 5

Agora, a expressão fica:

Passo 6

Sabemos que (Fórmula de De Moivre). Isso significa que a parte real da expansão é e a parte imaginária é .

Passo 7

Focando na parte imaginária, temos:
Aqui, representa a parte imaginária de .

Passo 8

Observando , percebemos que ela é diferente de zero apenas quando é ímpar. Ou seja, para . Portanto, a soma só inclui termos com

Passo 9

Reorganizando os termos, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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