Mostre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a parte imaginária do produto de dois números complexos,
e
, é igual à soma das partes reais e imaginárias desses números multiplicadas de uma certa forma. A matéria que estamos trabalhando aqui envolve números complexos, especificamente como multiplicá-los e identificar suas partes real e imaginária. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer a multiplicação de números complexos e como separar as partes real e imaginária do resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os números complexos. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Então, se temos
e
, onde
são números reais, nossa tarefa é multiplicar
e
e encontrar a parte imaginária desse produto.
Passo 3
Vamos multiplicar
e
:
Para multiplicar esses dois números, usamos a distributiva:
Passo 4
Lembrando que
, substituímos na equação:
Agora, vamos separar as partes real e imaginária:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 5
Agora, vamos identificar as partes reais e imaginárias de
e
:
- Para
: -
- Para
: -
Passo 6
Substituindo na expressão da parte imaginária do produto:
Isso pode ser reescrito como:
Que é exatamente o que o exercício pediu para mostrar.
Resposta
Concluímos que:
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