Mostre que Im(z1 z2)=Re(z1) Im(z2)+Im(z1) Re(z2)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a parte imaginária do produto de dois números complexos, e , é igual à soma das partes reais e imaginárias desses números multiplicadas de uma certa forma. A matéria que estamos trabalhando aqui envolve números complexos, especificamente como multiplicá-los e identificar suas partes real e imaginária. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer a multiplicação de números complexos e como separar as partes real e imaginária do resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são os números complexos. Um número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Então, se temos e , onde são números reais, nossa tarefa é multiplicar e e encontrar a parte imaginária desse produto.

Passo 3

Vamos multiplicar z1 z2 = (a + bi)(c + di) e z1 z2 = ac + adi + bci + bdi^2 :
Para multiplicar esses dois números, usamos a distributiva:

Passo 4

Lembrando que z1 z2 = ac + adi + bci - bd , substituímos na equação:
z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Agora, vamos separar as partes real e imaginária:
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 5

Agora, vamos identificar as partes reais e imaginárias de e :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Substituindo na expressão da parte imaginária do produto:
Im(z1 z2) = ad + bc
Isso pode ser reescrito como:
Im(z1 z2) = Re(z1) cdot Im(z2) + Im(z1) cdot Re(z2)
Que é exatamente o que o exercício pediu para mostrar.

Resposta

Concluímos que:
Im(z1 z2) = Re(z1) Im(z2) + Im(z1) Re(z2)

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