Considerando todos anagramas distintos que se pode formar com todas as letras da palavra MATEMÁTICA e desprezando o acento agudo, a quantidade desses anagramas em que as vogais apareçam todas juntas é igual a:
a) 6!
b) 5.6!
c) 6!/4
d) 10!/24

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular quantos anagramas diferentes podemos formar com as letras da palavra “MATEMÁTICA”, mas com uma condição: todas as vogais precisam ficar juntas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação com elementos repetidos e agrupamento de elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as vogais e as consoantes na palavra “MATEMÁTICA”. As vogais são A, E, A, A e I. Já as consoantes são M, T, M, T e C. Temos um total de 10 letras, com algumas letras se repetindo.

Passo 3

Como as vogais precisam ficar juntas, vamos tratá-las como um único “bloco”. Assim, além das 5 consoantes (M, T, M, T, C), temos esse bloco de vogais. Isso significa que temos 6 “unidades” para organizar.

Passo 4

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 6 unidades. Como temos letras repetidas (M e T aparecem duas vezes cada), usamos a fórmula de permutação com repetição:
6!2! times 2! = 7204 = 180

Passo 5

Dentro do bloco de vogais, também precisamos considerar as diferentes formas de organizar as vogais A, E, A, A e I. Como temos 3 A’s repetidos, usamos:
5!3! = 1206 = 20

Passo 6

Finalmente, multiplicamos as duas quantidades para obter o total de anagramas onde todas as vogais estão juntas:
180 times 20 = 3600

Resposta

A quantidade desses anagramas é igual a 5 × 6!. A alternativa correta é a letra b).

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