Considerando o triângulo retângulo dado, onde a hipotenusa vale 1, prove que
; ou seja, o seno ao quadrado de um ângulo qualquer, somado com o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo sempre dará como resultado, UM. (sugestão - utilize as relaçöes trigonométricas de seno e cosseno e em seguida aplique o Teorema de Pitágoras)
Passo 1
Então, a gente tem um triângulo retângulo onde a hipotenusa mede 1. A questão pede para provar que o seno ao quadrado de um ângulo mais o cosseno ao quadrado desse mesmo ângulo sempre dá 1. Vamos usar as definições de seno e cosseno e depois aplicar o Teorema de Pitágoras para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são seno e cosseno em um triângulo retângulo. Se tivermos um ângulo
, o seno de
é a razão entre o cateto oposto a
e a hipotenusa. Já o cosseno de
é a razão entre o cateto adjacente a
e a hipotenusa. Como a hipotenusa vale 1, temos:
Passo 3
Agora, vamos elevar ao quadrado as duas expressões:
Passo 4
Segundo o Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, temos:
Como a hipotenusa vale 1:
Passo 5
Substituindo as expressões que encontramos para e
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que .
Exercícios relacionados
Sendo
, calcule
.
Determine o valor da expressão numérica
quando
.
Se
então a expressão
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e) sec
a)
b)
c)
d)
e) sec
a)
b)
c)
d)
e) 0