Considerando o valor de e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, deduza a expressão literal para o campo elétrico para todo o espaço e depois determine o valor do campo elétrico nas seguintes posiçōes: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! No exercício, a gente precisa achar a expressão do campo elétrico em todo o espaço, usando que . As esferas estão centradas na origem do sistema de coordenadas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria esférica. Então, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Gauss e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por . Matematicamente, isso é representado por:
Como estamos lidando com simetria esférica, é inteligente escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss na esfera de raio . Devido à simetria esférica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, podemos simplificar a integral do fluxo elétrico:

Passo 4

Igualando isso à expressão da Lei de Gauss, temos:
Aqui, é a carga total dentro da esfera gaussiana. No nosso caso, .

Passo 5

Agora, substituímos na equação:
Os se cancelam:

Passo 6

Resolvendo para :
Então, a expressão geral para o campo elétrico é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor do campo elétrico na posição . Aqui, e a direção é ao longo do eixo .
Substituindo na expressão que encontramos:

Resposta

O campo elétrico na posição é:

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