Considerando o valor de e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, deduza a expressão literal para o campo elétrico para todo o espaço e depois determine o valor do campo elétrico nas seguintes posiçōes: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar a expressão do campo elétrico em todo o espaço, dado um valor , com as esferas centradas na origem. Depois, temos que calcular o campo elétrico em uma posição específica . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual na distância é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a carga, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

No enunciado, já nos dá uma relação envolvendo :
Vamos rearranjar essa equação para expressar em termos de :
Mas, para facilitar, vamos manter a expressão da Lei de Coulomb e substituir conforme fornecido.

Passo 4

Substituindo o valor de na expressão do campo elétrico:
Observe que aparece no numerador e no denominador, então eles se cancelam.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Então, essa é a expressão geral para o campo elétrico em qualquer ponto no espaço devido à carga .

Passo 6

Agora, queremos calcular o valor do campo elétrico na posição . Primeiro, identificamos que m e a direção é ao longo do eixo .
Substituindo esses valores na nossa expressão do campo elétrico:

Passo 7

Calculando o valor numérico:
Aqui, dividimos por para encontrar o campo elétrico na posição dada.

Resposta

O campo elétrico na posição é aproximadamente .

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