Considere a polia e os fios ideais. Supondo que a massa M2 seja ligeiramente maior que a massa M1
a) Qual a quantidade m de areia que deve ser transferida do balde de massa M1 para o balde de massa M2 para que a aceleração do sistema aumente de um fator f ?
b) Qual o maior valor de f possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma situação com uma polia e dois baldes de massas M1 e M2, sendo que M2 é um pouquinho maior que M1. A gente vai trabalhar com conceitos de dinâmica, mais especificamente com a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com polias. Precisamos descobrir:
a) Quanto de areia ( m) deve ser transferida de M1 para M2 para que a aceleração do sistema aumente por um fator f.
b) Qual o maior valor de f que é possível obter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as massas M1 e M2 interagem na polia. Como M2 é maior que M1, inicialmente, M2 vai puxar o M1 para cima, e isso gera uma aceleração no sistema.
A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa total vezes a aceleração ( F = m cdot a). No caso das polias, consideramos fios e polias ideais, ou seja, sem atrito e sem massa.

Passo 3

Vamos chamar a aceleração inicial do sistema de a. Quando transferimos uma quantidade m de areia de M1 para M2, as novas massas passam a ser:
  • M1' = M1 - m
  • M2' = M2 + m
Queremos que a nova aceleração seja f vezes a aceleração inicial, ou seja, a' = f cdot a.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para o sistema antes da transferência:
(M2 - M1)g = (M1 + M2)a
Após a transferência:
(M2 + m - (M1 - m))g = (M1 - m + M2 + m)a'
Simplificando:
(M2 - M1 + 2m)g = (M1 + M2)f a
Mas sabemos que antes:
(M2 - M1)g = (M1 + M2)a
Podemos substituir isso na equação:
(M2 - M1)g + 2mg = f (M2 - M1)g

Passo 5

Isolando m:
2mg = f (M2 - M1)g - (M2 - M1)g
2mg = (f - 1)(M2 - M1)g
m = (f - 1)(M2 - M1)g2g
m = (f - 1)(M2 - M1)2

Resposta

a) A quantidade de areia que deve ser transferida é:
m = (f - 1)(M2 - M1)2
b) O maior valor possível para f ocorre quando todo o M1 é transferido para M2, ou seja, m = M1. Substituindo na expressão de f:
M1 = (f - 1)(M2 - M1)2
2M1 = (f - 1)(M2 - M1)
f - 1 = 2M1M2 - M1
f = 1 + 2M1M2 - M1
Então, o maior valor de f possível é:
f = 1 + 2M1M2 - M1

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