Considerando uma velocidade inicial constante em módulo, deduza qual deveria ser o ângulo de lançamento com relação à horizontal para que o alcance horizontal fosse o maior possível. Determine numericamente o valor desse alcance máximo, da nova altura máxima e do tempo total de voo desse possível lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para descobrir qual é o melhor ângulo para lançar um projétil de forma que a distância horizontal (alcance) seja a maior possível, dado que a velocidade inicial é constante. A matéria que estamos usando aqui é de cinemática, mais especificamente movimento de projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas que descrevem o alcance, a altura máxima e o tempo de voo de um projétil lançado com um certo ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando lançamos um projétil, a velocidade inicial pode ser decomposta em duas componentes: uma horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e uma vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ). Essas componentes são dadas por:
Aqui, é a velocidade inicial e é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Para encontrar o alcance horizontal máximo, precisamos achar o ângulo R = v0^2 cdot sin(2theta)g que maximiza a distância . A fórmula do alcance é:
Onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

Para maximizar o alcance 2theta = 90^circ implies theta = 45^circ , observamos que o seno de deve ser máximo. O valor máximo de é 1, que ocorre quando:
Então, o ângulo de lançamento que proporciona o maior alcance horizontal é .

Passo 5

Agora, vamos determinar numericamente o valor desse alcance máximo, a altura máxima e o tempo total de voo. Para isso, precisamos de um valor para a velocidade inicial Rmax = v0^2 cdot sin(90^circ)g = 20^2 cdot 19,8 approx 4009,8 approx 40,82 , m . Vamos supor que .
Primeiro, calculamos o alcance máximo:

Passo 6

Agora, a altura máxima alcançada pelo projétil. A fórmula para a altura máxima ( H = v0y^22g = (v0 cdot sin(theta))^22g ) é:
H = (20 cdot sin(45^circ))^22 cdot 9,8 = (20 cdot 0,7071)^219,6 approx (14,142)^219,6 approx 20019,6 approx 10,20 , m
Substituindo e :

Passo 7

Por fim, vamos calcular o tempo total de voo ( T = 2 cdot v0yg = 2 cdot v0 cdot sin(theta)g ). A fórmula para o tempo total é:
T = 2 cdot 20 cdot 0,70719,8 approx 28,2849,8 approx 2,89 , s
Substituindo e :

Resposta

Então, o ângulo de lançamento que maximiza o alcance horizontal é de 45 graus. Com uma velocidade inicial de 20 m/s, o alcance máximo é aproximadamente 40,82 metros, a altura máxima atingida é cerca de 10,20 metros e o tempo total de voo é aproximadamente 2,89 segundos.

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