Considerando uma velocidade inicial constante em módulo, deduza qual deveria ser o ângulo de lançamento com relação à horizontal para que o alcance horizontal fosse o maior possível. Determine numericamente o valor desse alcance máximo, da nova altura máxima e do tempo total de voo desse possível lançamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para descobrir qual é o melhor ângulo para lançar um projétil de forma que a distância horizontal (alcance) seja a maior possível, dado que a velocidade inicial é constante. A matéria que estamos usando aqui é de cinemática, mais especificamente movimento de projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas que descrevem o alcance, a altura máxima e o tempo de voo de um projétil lançado com um certo ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando lançamos um projétil, a velocidade inicial pode ser decomposta em duas componentes: uma horizontal (
) e uma vertical (
). Essas componentes são dadas por:
Aqui,
é a velocidade inicial e
é o ângulo de lançamento.
Passo 3
Para encontrar o alcance horizontal máximo, precisamos achar o ângulo
que maximiza a distância
. A fórmula do alcance é:
Onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 4
Para maximizar o alcance
, observamos que o seno de
deve ser máximo. O valor máximo de
é 1, que ocorre quando:
Então, o ângulo de lançamento que proporciona o maior alcance horizontal é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar numericamente o valor desse alcance máximo, a altura máxima e o tempo total de voo. Para isso, precisamos de um valor para a velocidade inicial
. Vamos supor que
.
Primeiro, calculamos o alcance máximo:
Passo 6
Agora, a altura máxima alcançada pelo projétil. A fórmula para a altura máxima (
) é:
Substituindo
e
:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o tempo total de voo (
). A fórmula para o tempo total é:
Substituindo
e
:
Resposta
Então, o ângulo de lançamento que maximiza o alcance horizontal é de 45 graus. Com uma velocidade inicial de 20 m/s, o alcance máximo é aproximadamente 40,82 metros, a altura máxima atingida é cerca de 10,20 metros e o tempo total de voo é aproximadamente 2,89 segundos.
Exercícios relacionados
Em
e
, um carro azul, inicialmente em repouso, começa a acelerar a uma taxa constante de
no sentido positivo do eixo
. Em
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com uma velocidade de
e uma aceleração constante de
. Qual par de equações simultâneas deve ser resolvido para determinarmos quando o carro vermelho ultrapassa o carro azul? (Aquecimento para o Problema 63)
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