Posicionando a referência de um sistema de coordenadas plano no centro da circunferência definida pela trajetória, escreva a equação horária para o vetor posição da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa colocar o sistema de coordenadas no centro de uma circunferência que é o caminho que uma partícula está fazendo. A ideia é escrever a equação que descreve a posição dessa partícula em qualquer instante de tempo. Vamos usar conhecimentos de Movimento Circular Uniforme e vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula se move em uma circunferência com raio
e velocidade angular
, a posição dela pode ser descrita usando as funções seno e cosseno. Isso porque essas funções nos dão a posição horizontal e vertical ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos definir o sistema de coordenadas com o centro da circunferência como origem. Assim, a posição da partícula em qualquer instante
pode ser representada pelo vetor posição
.
Passo 4
Agora, usando cosseno para a coordenada x e seno para a coordenada y, podemos escrever as componentes do vetor posição. A fórmula fica assim:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 5
Explicando um pouco mais,
nos dá a posição na direção x e
na direção y. A velocidade angular
relaciona como rápido a partícula está girando ao redor do centro.
Resposta
A equação horária para o vetor posição da partícula é:
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