Posicionando a referência de um sistema de coordenadas plano no centro da circunferência definida pela trajetória, escreva a equação horária para o vetor posição da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa colocar o sistema de coordenadas no centro de uma circunferência que é o caminho que uma partícula está fazendo. A ideia é escrever a equação que descreve a posição dessa partícula em qualquer instante de tempo. Vamos usar conhecimentos de Movimento Circular Uniforme e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula se move em uma circunferência com raio e velocidade angular , a posição dela pode ser descrita usando as funções seno e cosseno. Isso porque essas funções nos dão a posição horizontal e vertical ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos definir o sistema de coordenadas com o centro da circunferência como origem. Assim, a posição da partícula em qualquer instante pode ser representada pelo vetor posição .

Passo 4

Agora, usando cosseno para a coordenada x e seno para a coordenada y, podemos escrever as componentes do vetor posição. A fórmula fica assim:
r(t) = R cos(omega t) , i + R sin(omega t) , j
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 5

Explicando um pouco mais, nos dá a posição na direção x e na direção y. A velocidade angular relaciona como rápido a partícula está girando ao redor do centro.

Resposta

A equação horária para o vetor posição da partícula é:
r(t) = R cos(omega t) , i + R sin(omega t) , j

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