A partir da manipulação das equações paramétricas do movimento, demonstre que a forma da trajetória descrita pela partícula é uma parábola. Obtenha os coeficientes que definem a equação dessa trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como, a partir das equações paramétricas do movimento, a trajetória de uma partícula forma uma parábola. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Precisaremos das equações que descrevem a posição da partícula em função do tempo para eliminar o tempo e chegar numa equação só envolvendo as coordenadas espaciais. No final, vamos identificar os coeficientes que definem essa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações paramétricas do movimento de um projétil (como um foguete ou uma bola lançada). Supondo que a partícula é lançada com uma velocidade inicial x(t) = v0 cos(theta) cdot t em um ângulo y(t) = v0 sin(theta) cdot t - 12 g t^2 em relação ao chão, as equações são:
Aqui, e são as posições horizontal e vertical da partícula no tempo , e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Agora, nosso objetivo é eliminar o tempo t = xv0 cos(theta) dessas equações para obter uma relação direta entre e . Vamos resolver a equação de para :

Passo 4

Substituímos esse valor de y = v0 sin(theta) cdot ( xv0 cos(theta) ) - 12 g ( xv0 cos(theta) )^2 na equação de :

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Primeiro, o termo linear:
v0 sin(theta) cdot xv0 cos(theta) = x tan(theta)
Porque 12 g ( xv0 cos(theta) )^2 = g x^22 v0^2 cos^2(theta) .
Agora, o termo quadrático:

Passo 6

Juntando tudo, a equação da trajetória fica:
y = x tan(theta) - g x^22 v0^2 cos^2(theta)

Passo 7

Observamos que essa é uma equação do segundo grau em y = a x^2 + b x + c , ou seja, da forma:
a = -g2 v0^2 cos^2(theta)
onde:
b = tan(theta)
c = 0

Resposta

A trajetória da partícula é uma parábola dada por:
y = tan(theta) cdot x - g2 v0^2 cos^2(theta) cdot x^2
Os coeficientes que definem essa parábola são:
a = -g2 v0^2 cos^2(theta), b = tan(theta), c = 0

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