A partir da manipulação das equações paramétricas do movimento, demonstre que a forma da trajetória descrita pela partícula é uma parábola. Obtenha os coeficientes que definem a equação dessa trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como, a partir das equações paramétricas do movimento, a trajetória de uma partícula forma uma parábola. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Precisaremos das equações que descrevem a posição da partícula em função do tempo para eliminar o tempo e chegar numa equação só envolvendo as coordenadas espaciais. No final, vamos identificar os coeficientes que definem essa parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações paramétricas do movimento de um projétil (como um foguete ou uma bola lançada). Supondo que a partícula é lançada com uma velocidade inicial
em um ângulo
em relação ao chão, as equações são:
Aqui,
e
são as posições horizontal e vertical da partícula no tempo
, e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 3
Agora, nosso objetivo é eliminar o tempo
dessas equações para obter uma relação direta entre
e
. Vamos resolver a equação de
para
:
Passo 4
Substituímos esse valor de
na equação de
:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Primeiro, o termo linear:
Porque
.
Agora, o termo quadrático:
Passo 6
Juntando tudo, a equação da trajetória fica:
Passo 7
Observamos que essa é uma equação do segundo grau em
, ou seja, da forma:
onde:
Resposta
A trajetória da partícula é uma parábola dada por:
Os coeficientes que definem essa parábola são: