Considerando os vetores: u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4) :
(b) Verifique se o vetor u é combinação linear de v e w.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: u = (1, -1, 3), v = (2, 1, 3) e w = (-1, -1, 4). A pergunta é para verificar se o vetor u pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v e w. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente combinações lineares e sistemas de equações. Vamos precisar montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinam v e w para formar u.

Passo 2

Uma combinação linear de v e w significa que existem escalares (números) a e b tais que:
u = av + bw
Vamos substituir os valores dos vetores:
(1, -1, 3) = a(2, 1, 3) + b(-1, -1, 4)
Isso resulta em um sistema de equações:
1 = 2a - b -1 = a - b 3 = 3a + 4b

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação:
-1 = a - b
Podemos isolar a:
a = -1 + b (Equação 4) çã
Agora, substituímos a da Equação 4 na primeira equação:
1 = 2(-1 + b) - b 1 = -2 + 2b - b 1 = -2 + b b = 3
Com b = 3, substituímos na Equação 4:
a = -1 + 3 a = 2

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
3 = 3a + 4b 3 = 3(2) + 4(3) 3 = 6 + 12 3 = 18 (Falso)
Isso indica que as soluções encontradas anteriormente não satisfazem todas as três equações simultaneamente. Portanto, não existe uma combinação linear de v e w que resulte em u.

Resposta

O vetor u não é combinação linear dos vetores v e w.

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