Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correpsondente: a) ; b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem duas equações em coordenadas esféricas e precisamos transformar elas para coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar as relações entre as duas formas de coordenadas. As coordenadas esféricas são dadas por e as cartesianas por . As fórmulas pra converter são:
Vamos usar essas equações para transformar cada caso.
Passo 2
Vamos para a primeira parte: a) rho = 7. Isso significa que a distância do ponto à origem é sempre 7, independente dos ângulos theta e varphi. Vamos substituir rho por 7 nas fórmulas de conversão:
x = 7 sinvarphi costheta y = 7 sinvarphi sintheta z = 7 cosvarphi
Passo 3
Agora, pra eliminar os ângulos e deixar a equação só em termos de x, y e z, vamos lembrar da relação rho = raizx^2 + y^2 + z^2. Como rho = 7, temos:
raizx^2 + y^2 + z^2 = 7
Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar:
x^2 + y^2 + z^2 = 49
Passo 4
Essa é a equação em coordenadas cartesianas pra a parte a). Agora vamos entender o que isso representa geometricamente. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 49 é a equação de uma esfera com raio 7, centrada na origem.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: b) varphi = 45^circ. Esse ângulo varphi é o ângulo entre o raio que liga o ponto à origem e o eixo z. Vamos usar a fórmula para z:
z = rho cosvarphi
Como varphi = 45^circ, temos cos 45^circ = raiz22, então:
z = rho cdot raiz22 = rho raiz22
Passo 6
Para transformar isso para coordenadas cartesianas, vamos lembrar que rho = raizx^2 + y^2 + z^2. Substituindo na equação do z:
z = raizx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz22
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2z = raiz2 raizx^2 + y^2 + z^2
Passo 7
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação em coordenadas cartesianas pra a parte b). Geometricamente, z^2 = x^2 + y^2 representa um cone com o vértice na origem e com ângulo de abertura de 45^circ em relação ao eixo z.
Resposta
a) A equação em coordenadas cartesianas é x^2 + y^2 + z^2 = 49, que representa uma esfera de raio 7 centrada na origem.
b) A equação em coordenadas cartesianas é z^2 = x^2 + y^2, que representa um cone com vértice na origem e ângulo de abertura de 45^circ.