Determine se os pontos A, B e C abaixo podem ser vértices de um triângulo
(a) A=(1,1), B=(3,5), C=(-2,3) ; R=S I M
(b) A=(1,2,-1), B=(0,1,1), C=(1,0,1) R=S I M

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos três pontos e precisamos descobrir se eles podem ser vértices de um triângulo. Isso significa que os três pontos não podem estar alinhados numa linha reta. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, calculando as distâncias entre os pontos e verificando se elas satisfazem a condição de existência de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) onde os pontos estão no plano bidimensional (2D). Os pontos são:

Passo 3

Para verificar se esses três pontos formam um triângulo, precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos usando a fórmula da distância:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular , e .

Passo 4

Calculando a distância entre AB = raiz(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,47 e :

Passo 5

Calculando a distância entre BC = raiz(-2 - 3)^2 + (3 - 5)^2 = raiz(-5)^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 approx 5,39 e :

Passo 6

Calculando a distância entre AC = raiz(-2 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = raiz(-3)^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,61 e :

Passo 7

Agora que temos as distâncias , e , vamos verificar se elas satisfazem a desigualdade triangular, que diz que a soma de duas quaisquer distâncias deve ser maior que a terceira:
  • ✔️
  • ✔️
  • ✔️

Passo 8

Como todas as condições são satisfeitas, os pontos , e podem sim formar um triângulo no plano 2D.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) onde os pontos estão no espaço tridimensional (3D). Os pontos são:

Passo 10

Para verificar se esses pontos formam um triângulo no espaço 3D, podemos usar o conceito de volume. Se o volume formado pelos três pontos e a origem for diferente de zero, os pontos não estão alinhados e formam um triângulo. Outra maneira é calcular se os vetores e não são colineares, ou seja, se o produto vetorial deles não é o vetor nulo.

Passo 11

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 1 - (-1)) = (-1, -1, 2) e AC = C - A = (1 - 1, 0 - 2, 1 - (-1)) = (0, -2, 2) :

Passo 12

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k -1 & -1 & 2 0 & -2 & 2 = i((-1)(2) - (2)(-2)) - j((-1)(2) - (2)(0)) + k((-1)(-2) - (-1)(0)) :
= i(-2 + 4) - j(-2 - 0) + k(2 - 0)
= i(2) - j(-2) + k(2)
= 2i + 2j + 2k

Passo 13

O produto vetorial é diferente de , o que significa que os vetores não são colineares. Portanto, os pontos , e não estão alinhados e podem formar um triângulo no espaço 3D.

Resposta

(a) Sim, os pontos , e podem formar um triângulo no plano 2D.
(b) Sim, os pontos , e podem formar um triângulo no espaço 3D.

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