Considerando-se ( x0, y0 ) o centro da elipse x^2 + 4y^2 - 2x - 16y + 13 = 0, afirma-se que
a) x0 > 0 e y0 < 0
b) x0 > 0 e y0 > 0
c) x0 < 0 e y0 > 0
d) x0 < 0 e y0 < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o centro da elipse dada pela equação . Para isso, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação da elipse na forma padrão e assim identificar as coordenadas do centro .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de :
A gente tem . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e elevamos ao quadrado, . Então adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de :
Fatoramos o 4 de :
Completa o quadrado para : pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e elevamos ao quadrado, . Então adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Agora, substituímos de volta na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Adicionamos 17 dos dois lados:

Passo 6

Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Daí, podemos ver que o centro da elipse é .

Resposta

A coordenada do centro é , ou seja, e . Portanto, a resposta correta é a opção b) e .

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