Considerando-se (
) o centro da elipse
, afirma-se que
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o centro da elipse dada pela equação
. Para isso, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação da elipse na forma padrão e assim identificar as coordenadas do centro
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
A gente tem . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado,
. Então adicionamos e subtraímos 1:
A gente tem
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
Fatoramos o 4 de :
Fatoramos o 4 de
Completa o quadrado para
: pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado,
. Então adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Agora, substituímos de volta na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Adicionamos 17 dos dois lados:
Passo 6
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Daí, podemos ver que o centro da elipse
é
.
Resposta
A coordenada do centro é
, ou seja,
e
. Portanto, a resposta correta é a opção b)
e
.