Considerando-se (
) o centro da elipse
, afirma-se que
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o centro da elipse dada pela equação
. Para isso, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação da elipse na forma padrão e assim identificar as coordenadas do centro
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
A gente tem . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado,
. Então adicionamos e subtraímos 1:
A gente tem
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
Fatoramos o 4 de :
Fatoramos o 4 de
Completa o quadrado para
: pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado,
. Então adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Agora, substituímos de volta na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Adicionamos 17 dos dois lados:
Passo 6
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Daí, podemos ver que o centro da elipse
é
.
Resposta
A coordenada do centro é
, ou seja,
e
. Portanto, a resposta correta é a opção b)
e
.
Exercícios relacionados
O desenvolvimento de
possui um termo independente de
e um termo independente de
.
O valor do produto desses termos é
a)
b)
c)
d)
O valor do produto desses termos é
a)
b)
c)
d)
Sobre as retas
e
são feitas as seguintes afirmações:
I. As retas e
são perpendiculares;
II. O ponto de interseç̧ão das retas e
é
;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas e
com o eixo
e o ponto de interseç̧ão das duas retas é 18,75 u.a.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
I. As retas
II. O ponto de interseç̧ão das retas
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Seja
, munido com produto interno usual do
, e seja o complemento ortogonal
. A dimensão de
é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Sobre os operadores autoadjuntos podemos afirmar:
I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;
II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;
III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;
IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) I, II e III.
I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;
II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;
III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;
IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) I, II e III.