Sobre as retas e são feitas as seguintes afirmações:
I. As retas e são perpendiculares;
II. O ponto de interseç̧ão das retas e é ;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas e com o eixo e o ponto de interseç̧ão das duas retas é 18,75 u.a.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos duas retas:
  • Reta :
  • Reta :
E três afirmações sobre elas:
I. As retas e são perpendiculares;
II. O ponto de interseção das retas e é ;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas e com o eixo e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Vamos verificar quais dessas afirmações estão corretas usando conceitos de geometria analítica, como inclinação de retas, sistema de equações e cálculo de área de triângulo.

Passo 2

Verificando a afirmação I: As retas e são perpendiculares.
Para saber se duas retas são perpendiculares, precisamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta e verificar se o produto desses coeficientes é igual a .
Primeiro, vamos reescrever as equações na forma , onde é o coeficiente angular.
Para a reta :
Ent��o, o coeficiente angular de é .
Para a reta :
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Então, o coeficiente angular de é .
Agora, multiplicamos os coeficientes angulares:
Como , as retas e não são perpendiculares.
Portanto, a afirmação I está errada.

Passo 3

Verificando a afirmação II: O ponto de interseção das retas e é .
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas retas.
As equações são:
  1. (Eq.1)
  2. (Eq.2)
Substituindo a Eq.2 na Eq.1:
Agora, substituindo na Eq.2:
Então, o ponto de interseção é .
A afirmação II está correta.

Passo 4

Verificando a afirmação III: A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas e com o eixo e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde cada reta intercepta o eixo . Para isso, fazemos em cada equação.
Para a reta :
Ponto de interseção com o eixo :
Para a reta :
Ponto de interseção com o eixo :
Agora, temos três pontos formando o triângulo:
  • (ponto de interseção das retas)
Para calcular a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área com coordenadas:
Á
Substituindo os valores:
Á
Portanto, a afirmação III está correta.

Resposta

A(s) afirmativa(s) II e III está(ão) correta(s). A resposta correta é a opção c).

Exercícios relacionados

A sequência é uma Progressão Aritmética de segunda ordem.
O valor do seu centésimo termo é
a) 9997
b) 9999
c) 10001
d) 10002
Quais são as raízes cúbicas complexas de ?
a)
b)
c)
d)
O desenvolvimento de possui um termo independente de e um termo independente de .
O valor do produto desses termos é
a)
b)
c)
d)
Considerando-se ( ) o centro da elipse , afirma-se que
a) e
b) e
c) e
d) e