Sobre as retas
e
são feitas as seguintes afirmações:
I. As retas
e
são perpendiculares;
II. O ponto de interseç̧ão das retas
e
é
;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas
e
com o eixo
e o ponto de interseç̧ão das duas retas é 18,75 u.a.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
I. As retas
II. O ponto de interseç̧ão das retas
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos duas retas:
- Reta
: - Reta
:
E três afirmações sobre elas:
I. As retas
e
são perpendiculares;
II. O ponto de interseção das retas
e
é
;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas
e
com o eixo
e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Vamos verificar quais dessas afirmações estão corretas usando conceitos de geometria analítica, como inclinação de retas, sistema de equações e cálculo de área de triângulo.
Passo 2
Verificando a afirmação I: As retas
e
são perpendiculares.
Para saber se duas retas são perpendiculares, precisamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta e verificar se o produto desses coeficientes é igual a
.
Primeiro, vamos reescrever as equações na forma
, onde
é o coeficiente angular.
Para a reta
:
Ent��o, o coeficiente angular de
é
.
Para a reta
:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Então, o coeficiente angular de
é
.
Agora, multiplicamos os coeficientes angulares:
Como
, as retas
e
não são perpendiculares.
Portanto, a afirmação I está errada.
Passo 3
Verificando a afirmação II: O ponto de interseção das retas
e
é
.
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas retas.
As equações são:
-
(Eq.1) -
(Eq.2)
Substituindo a Eq.2 na Eq.1:
Agora, substituindo
na Eq.2:
Então, o ponto de interseção é
.
A afirmação II está correta.
Passo 4
Verificando a afirmação III: A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas
e
com o eixo
e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde cada reta intercepta o eixo
. Para isso, fazemos
em cada equação.
Para a reta
:
Ponto de interseção com o eixo
:
Para a reta
:
Ponto de interseção com o eixo
:
Agora, temos três pontos formando o triângulo:
-
-
-
(ponto de interseção das retas)
Para calcular a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área com coordenadas:
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação III está correta.
Resposta
A(s) afirmativa(s) II e III está(ão) correta(s). A resposta correta é a opção c).