Sobre as retas e são feitas as seguintes afirmações:
I. As retas e são perpendiculares;
II. O ponto de interseç̧ão das retas e é ;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseç̧ão das retas e com o eixo e o ponto de interseç̧ão das duas retas é 18,75 u.a.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) III apenas.
b) I e II apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos duas retas:
Reta :
Reta :
E três afirmações sobre elas:
I. As retas e são perpendiculares;
II. O ponto de interseção das retas e é ;
III. A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas e com o eixo e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Vamos verificar quais dessas afirmações estão corretas usando conceitos de geometria analítica, como inclinação de retas, sistema de equações e cálculo de área de triângulo.
Passo 2
Verificando a afirmação I: As retas e são perpendiculares.
Para saber se duas retas são perpendiculares, precisamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta e verificar se o produto desses coeficientes é igual a .
Primeiro, vamos reescrever as equações na forma , onde é o coeficiente angular.
Para a reta :
Ent��o, o coeficiente angular de é .
Para a reta :
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Então, o coeficiente angular de é .
Agora, multiplicamos os coeficientes angulares:
Como , as retas e não são perpendiculares.
Portanto, a afirmação I está errada.
Passo 3
Verificando a afirmação II: O ponto de interseção das retas e é .
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas retas.
As equações são:
(Eq.1)
(Eq.2)
Substituindo a Eq.2 na Eq.1:
Agora, substituindo na Eq.2:
Então, o ponto de interseção é .
A afirmação II está correta.
Passo 4
Verificando a afirmação III: A área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas e com o eixo e o ponto de interseção das duas retas é 18,75 u.a.
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde cada reta intercepta o eixo . Para isso, fazemos em cada equação.
Para a reta :
Ponto de interseção com o eixo :
Para a reta :
Ponto de interseção com o eixo :
Agora, temos três pontos formando o triângulo:
(ponto de interseção das retas)
Para calcular a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área com coordenadas:
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação III está correta.
Resposta
A(s) afirmativa(s) II e III está(ão) correta(s). A resposta correta é a opção c).