Sobre os operadores autoadjuntos podemos afirmar:
I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;
II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;
III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;
IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre operadores autoadjuntos! O enunciado apresenta quatro afirmações relacionadas a essas operações e pede para identificarmos quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como autovalores, autovetores, ortogonalidade e independência linear. Vamos passo a passo analisar cada afirmação.

Passo 2

Afirmação I: Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais.
Explicação: Um operador autoadjunto (ou hermitiano) é aquele que é igual ao seu adjunto. Uma propriedade fundamental desses operadores é que todos os seus autovalores são números reais. Isso significa que, se é autoadjunto, então para todo autovalor associado a , temos que é um número real.
Conclusão: A afirmação I está correta.

Passo 3

Afirmação II: Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais.
Explicação: Quando temos um operador autoadjunto, os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. Ou seja, se e são autovetores associados a autovalores diferentes e respectivamente, então o produto interno , indicando que eles são perpendiculares no espaço.
Conclusão: A afirmação II está correta.

Passo 4

Afirmação III: Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes.
Explicação: Além de serem ortogonais, os autovetores de um operador autoadjunto para autovalores diferentes são também linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum autovetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, garantindo uma base sólida para o espaço vetorial.
Conclusão: A afirmação III está correta.

Passo 5

Afirmação IV: Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Explicação: Aqui temos uma confusão. Na verdade, um operador simétrico sobre um espaço vetorial real é autoadjunto. Ou seja, eles são a mesma coisa no contexto de espaços com produto interno real. Portanto, a primeira parte da afirmação está errada. A segunda parte está correta, já que operadores autoadjuntos são sempre diagonalizáveis por uma base ortogonal de autovetores.
Conclusão: A afirmação IV está incorreta porque afirma que operadores simétricos não são autoadjuntos, o que não é verdade.

Resposta

Estão corretas apenas as afirmativas I, II e III. Portanto, a opção correta é a letra d) I, II e III.

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b)
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