Seja , munido com produto interno usual do , e seja o complemento ortogonal . A dimensão de é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve o conceito de complemento ortogonal. O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço com o produto interno usual. Precisamos descobrir a dimensão do complemento ortogonal .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores em que são ortogonais (ou seja, possuem produto interno igual a zero) com todos os vetores do conjunto .
Passo 3
Para encontrar a dimensão de , usamos um teorema importante da Álgebra Linear que diz:
Sabemos que , então precisamos descobrir a dimensão de .
Passo 4
Vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão de será igual ao número de vetores. Se não, será menor.
Considerando os vetores:
Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a dimensão de é menor que 3.
Passo 5
Agora, vamos determinar quantos vetores em são realmente independentes. Tomamos os primeiros dois vetores e . Eles não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Isso significa que .
Passo 6
Aplicando o teorema mencionado no Passo 3:
Resposta
A dimensão de é 1. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) 1.