Seja , munido com produto interno usual do , e seja o complemento ortogonal . A dimensão de é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve o conceito de complemento ortogonal. O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço com o produto interno usual. Precisamos descobrir a dimensão do complemento ortogonal .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores em que são ortogonais (ou seja, possuem produto interno igual a zero) com todos os vetores do conjunto .

Passo 3

Para encontrar a dimensão de , usamos um teorema importante da Álgebra Linear que diz:
Sabemos que , então precisamos descobrir a dimensão de .

Passo 4

Vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão de será igual ao número de vetores. Se não, será menor.
Considerando os vetores:
Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a dimensão de é menor que 3.

Passo 5

Agora, vamos determinar quantos vetores em são realmente independentes. Tomamos os primeiros dois vetores e . Eles não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Isso significa que .

Passo 6

Aplicando o teorema mencionado no Passo 3:

Resposta

A dimensão de é 1. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) 1.

Exercícios relacionados

Considerando-se ( ) o centro da elipse , afirma-se que
a) e
b) e
c) e
d) e
O desenvolvimento de possui um termo independente de e um termo independente de .
O valor do produto desses termos é
a)
b)
c)
d)
Sobre os operadores autoadjuntos podemos afirmar:
I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;
II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;
III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;
IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) I, II e III.
Qual é a solução do Sistema Linear de Equações Diferenciais para o problema de valor inicial abaixo?
a)
b)
c)
d) $X(t)=\frac{7}{2}\binom{1}{1} e^{t}-\frac{3}{2}\binom{1}{3} e^{-t}