Seja S = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (-1, 2, 1)} ⊆ R^3, munido com produto interno usual do R^3, e seja o complemento ortogonal S^⊥ = { x em R^3 : < x | y > = 0 para todo y em S }. A dimensão de S perpêndiculo é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve o conceito de complemento ortogonal. O enunciado nos dá um conjunto de vetores no espaço com o produto interno usual. Precisamos descobrir a dimensão do complemento ortogonal .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores em que são ortogonais (ou seja, possuem produto interno igual a zero) com todos os vetores do conjunto .

Passo 3

Para encontrar a dimensão de , usamos um teorema importante da Álgebra Linear que diz:
Sabemos que , então precisamos descobrir a dimensão de .

Passo 4

Vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão de será igual ao número de vetores. Se não, será menor.
Considerando os vetores:
Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a dimensão de é menor que 3.

Passo 5

Agora, vamos determinar quantos vetores em são realmente independentes. Tomamos os primeiros dois vetores e . Eles não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes. Isso significa que .

Passo 6

Aplicando o teorema mencionado no Passo 3:

Resposta

A dimensão de é 1. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) 1.

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