Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar o número complexo no plano complexo e depois convertê-lo para a forma polar, que é , onde é o módulo e é o argumento do número. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar no plano complexo. No plano, o número complexo é representado por um ponto com coordenadas . Então, fica no ponto (1, 2).

Passo 3

Agora, para converter para a forma polar, precisamos encontrar o módulo e o argumento . O módulo é a distância do ponto até a origem e pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras:
Neste caso, e , então:

Passo 4

O argumento é o ângulo que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo real positivo. Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Substituindo os valores:
Esse valor está dentro do intervalo , então está tudo certo.

Resposta

Portanto, o número complexo na forma polar é:

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Calcule:
Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo indica parte imaginária de.
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que: