Considerando z=a+j b=r e^j theta e o seu complexo conjugado z^*=a-j b=e^-j theta, mostre que: z / z^*=e^j 2 theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e seu conjugado . A questão quer que a gente mostre que .
Vamos precisar entender o que são números complexos no formato polar e como trabalhar com conjugados e frações desses números.

Passo 2

Vamos relembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como , onde:
  • é o módulo (ou tamanho) do número complexo.
  • é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
  • é a unidade imaginária, onde .
O conjugado de , denotado por , basicamente inverte o sinal da parte imaginária, então .

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração zz^* = re^jthetare^-jtheta usando as representações polares de e :

Passo 4

Observamos que o módulo re^jthetare^-jtheta = e^jthetae^-jtheta aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado:

Passo 5

Lembrando das propriedades das potências, sabemos que e^jthetae^-jtheta = e^jtheta - (-jtheta) = e^jtheta + jtheta = e^j2theta . Aplicando isso aqui:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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