Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e seu conjugado . A questão quer que a gente mostre que .
Vamos precisar entender o que são números complexos no formato polar e como trabalhar com conjugados e frações desses números.

Passo 2

Vamos relembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como , onde:
  • é o módulo (ou tamanho) do número complexo.
  • é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
  • é a unidade imaginária, onde .
O conjugado de , denotado por , basicamente inverte o sinal da parte imaginária, então .

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração usando as representações polares de e :

Passo 4

Observamos que o módulo aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado:

Passo 5

Lembrando das propriedades das potências, sabemos que . Aplicando isso aqui:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais:
Calcule: