Considerando
e o seu complexo conjugado
, mostre que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
e seu conjugado
. A questão quer que a gente mostre que
.
Vamos precisar entender o que são números complexos no formato polar e como trabalhar com conjugados e frações desses números.
Passo 2
Vamos relembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como
, onde:
-
é o módulo (ou tamanho) do número complexo. -
é o argumento (ou ângulo) do número complexo. -
é a unidade imaginária, onde .
O conjugado de
, denotado por
, basicamente inverte o sinal da parte imaginária, então
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
usando as representações polares de
e
:
Passo 4
Observamos que o módulo
aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado:
Passo 5
Lembrando das propriedades das potências, sabemos que
. Aplicando isso aqui:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Converta-os para a forma polar (
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Converta-os para a forma polar (
Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais:
Calcule: