Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as partes real e imaginária da função complexa . Isso envolve trabalhar com números complexos e separar a expressão em suas partes reais e imaginárias. Para resolver isso, vamos usar a técnica de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 2

Primeiro, lembra que um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para simplificar a divisão de dois complexos, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Então, vamos multiplicar:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
Sabendo que , substituímos:
Denominador:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Podemos separar a parte real e a parte imaginária dividindo cada termo pelo denominador:

Resposta

A parte real de é e a parte imaginária é .
Em resumo:

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Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Calcule:
Obtenha as partes real e imaginária das seguintes funções complexas de variáveis reais: