Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudanças de base em . A gente tem duas bases: a base padrão , que todo mundo já conhece, e uma outra base . A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor na base , sabendo que ele tem as coordenadas na base . Para isso, vamos precisar usar matrizes e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um vetor em diferentes bases. A base é a base padrão, onde qualquer vetor é representado por suas coordenadas normais. Já na base , as coordenadas do mesmo vetor podem ser diferentes. Para encontrar essas novas coordenadas, precisamos relacionar as duas bases.
Passo 3
Vamos montar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada coluna dessa matriz será um vetor da base . Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, para achar as coordenadas de v na base B, a gente precisa resolver o sistema P cdot vB = vA. Aqui, vA é o vetor na base A, que é (1,2,3), e vB são as coordenadas que queremos encontrar na base B.
Passo 5
Vamos escrever o sistema de equações:
1 cdot x + 0 cdot y -1 cdot z = 1 0 cdot x + 1 cdot y +1 cdot z = 2 -1 cdot x -1 cdot y +1 cdot z = 3
Simplificando:
x - z = 1 y + z = 2 -x - y + z = 3
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar x em função de z:
x = 1 + z
Da segunda equação, expressamos y em função de z:
y = 2 - z
Passo 7
Agora, substituímos x e y na terceira equação:
-(1 + z) - (2 - z) + z = 3
Simplificando:
-1 - z -2 + z + z = 3 -3 + z = 3 z = 6
Passo 8
Com z = 6, substituímos de volta para encontrar x e y:
x = 1 + 6 = 7 y = 2 - 6 = -4
Resposta
As coordenadas do vetor v na base B são vB = (7, -4, 6).