Considerar, no , as bases
b) Calcular sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudanças de base em . A gente tem duas bases: a base padrão , que todo mundo já conhece, e uma outra base . A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor na base , sabendo que ele tem as coordenadas na base . Para isso, vamos precisar usar matrizes e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um vetor em diferentes bases. A base é a base padrão, onde qualquer vetor é representado por suas coordenadas normais. Já na base , as coordenadas do mesmo vetor podem ser diferentes. Para encontrar essas novas coordenadas, precisamos relacionar as duas bases.

Passo 3

Vamos montar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada coluna dessa matriz será um vetor da base . Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, para achar as coordenadas de na base , a gente precisa resolver o sistema . Aqui, é o vetor na base , que é , e são as coordenadas que queremos encontrar na base .

Passo 5

Vamos escrever o sistema de equações:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Da segunda equação, expressamos em função de :

Passo 7

Agora, substituímos e na terceira equação:
Simplificando:

Passo 8

Com , substituímos de volta para encontrar e :

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular , sendo :
Mostre que as matrizes da forma onde é um número real não nulo, verificam a equação .