Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudanças de base em . A gente tem duas bases: a base padrão , que todo mundo já conhece, e uma outra base . A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor na base , sabendo que ele tem as coordenadas na base . Para isso, vamos precisar usar matrizes e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um vetor em diferentes bases. A base é a base padrão, onde qualquer vetor é representado por suas coordenadas normais. Já na base , as coordenadas do mesmo vetor podem ser diferentes. Para encontrar essas novas coordenadas, precisamos relacionar as duas bases.
Passo 3
Vamos montar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada coluna dessa matriz será um vetor da base . Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, para achar as coordenadas de na base , a gente precisa resolver o sistema . Aqui, é o vetor na base , que é , e são as coordenadas que queremos encontrar na base .
Passo 5
Vamos escrever o sistema de equações:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em função de :