Considerar, no R^3, as bases
A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e B=(1,0,-1),(0,1,-1),(-1,1,1)
b) Calcular vB sabendo que vA=(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudanças de base em R^3. A gente tem duas bases: a base padrão A, que todo mundo já conhece, e uma outra base B. A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor v na base B, sabendo que ele tem as coordenadas (1,2,3) na base A. Para isso, vamos precisar usar matrizes e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um vetor em diferentes bases. A base A é a base padrão, onde qualquer vetor é representado por suas coordenadas normais. Já na base B, as coordenadas do mesmo vetor podem ser diferentes. Para encontrar essas novas coordenadas, precisamos relacionar as duas bases.

Passo 3

Vamos montar a matriz de mudança de base de A para B. Isso significa que cada coluna dessa matriz será um vetor da base B. Então, a matriz P fica assim:
P = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & -1 & 1

Passo 4

Agora, para achar as coordenadas de v na base B, a gente precisa resolver o sistema P cdot vB = vA. Aqui, vA é o vetor na base A, que é (1,2,3), e vB são as coordenadas que queremos encontrar na base B.

Passo 5

Vamos escrever o sistema de equações:
1 cdot x + 0 cdot y -1 cdot z = 1 0 cdot x + 1 cdot y +1 cdot z = 2 -1 cdot x -1 cdot y +1 cdot z = 3
Simplificando:
x - z = 1 y + z = 2 -x - y + z = 3

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar x em função de z:
x = 1 + z
Da segunda equação, expressamos y em função de z:
y = 2 - z

Passo 7

Agora, substituímos x e y na terceira equação:
-(1 + z) - (2 - z) + z = 3
Simplificando:
-1 - z -2 + z + z = 3 -3 + z = 3 z = 6

Passo 8

Com z = 6, substituímos de volta para encontrar x e y:
x = 1 + 6 = 7 y = 2 - 6 = -4

Resposta

As coordenadas do vetor v na base B são vB = (7, -4, 6).

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